Adott 6 szakasz, hosszuk: 3cm,3,4cm,4,4cm 5,6cm,6,3cm,9,2cm. Hány különböző háromszög szerkeszthető ezekből az adatokból, ha egy szalasz többször is felhasználható?

Nézzük az egyenlő oldalú háromszögeket. Az „a” oldalnak bármelyiket választhatjuk, a többi oldal meg ezzel azonos lesz, így összesen 6 féle egyenlő oldalú háromszög lesz.

Egyenlő szárú háromszög esetén az alapot 6 közül választhatjuk ki, a szárat viszont már csak öt közül. (A hatodik esetén egyenlő oldalú lenne.) Így összesen 6*5=30 különböző egyenlő szárú háromszög lesz.

Általános háromszög esetén az első oldalt 6, a másodikat 5, a harmadikat 4 szakasz közül tudjuk kiválasztani. De ebben az esetben osztani kell 3 permutációinak számával, hiszen az abc háromszög egybevágó lesz a bca, cab, illetve az acb, cba, bac háromszögekkel. Így 6*5*4 / (3!) = 20 különböző általános háromszög képezhető a szakaszokból.

Ha a fenti hat szakaszt az ábécé betűvel jelölöm, akkor:

Egyenlő oldalú:

aaa,bbb,ccc,ddd,eee,fff

Egyenlő szárú:

abb, acc, add, aee, aff,

baa, bcc, bdd, bee, bff,

caa, cbb, cdd, cee, cff,

daa, dbb, dcc, dee, dff,

eaa, ebb, ecc, edd, eff

faa, fbb, fcc, fdd, fee

Általános:

abc, abd, abe, abf, acd, ace, acf, ade, adf, aef,

bcd, bce, bcf, bde, bdf, bef,

cde, cdf, cef

def

Bocs, ne örülj annyira, mert nem jó az előző megoldás. Pontosabban csak részben jó.

Ha jó választ szeretnél, vizsgáld meg a megoldásokat a geometria szemüvegén át. A válaszoló csak kombinatóriai szempontokat vett figyelembe.

Szerinted van olyan egyenlő szárú háromszög, melynek alapja 9,2 cm, a szárai meg 3 cm hosszúak? (faa)

Van még pár ilyen a "megoldások" közt.

#3: Ott a pont… Hmm… Fura, de valahogy eszembe se jutott ez az aspektus. :)

#4> Tovább bonyolítja a kérdést, hogy a harmadik esetben, amikor három különböző hosszú szakaszból szerkesztünk háromszöget, akkor abból kétféle háromszög is szerkeszthető, amelyek egymásnak tükörképei.

Igen, ez figyelembe lett véve, ezért kell osztani 3 permutációinak számával, hogy az egybevágó háromszögeket kiszűrjük.