Gyökös kérdéssel kapcsolatos dolgok?

1. nem csinos

2. a számológép nem tuggya mer buta

A zárójel mindenképpen kell szerintem, a gyöközés pedig lehetséges mert ugyebár gyök(2) = 2 az (1/2).-iken .

SZÓVAL :gyök(2) a gyökketedik gyök alatt (:D) = gyök kettő az (1/gyök2). hatványon

1. sor: nem szükséges oda zárójel, de úgy szép, ha ott van (egyértelműsíti a dolgokat.

2. sor: ezen az alakon már én is sokat gondolkodtam. A fenti összefüggés alapján átírható ilyen alakra:

(√2)^(1/√2), vagyis a √2-t az 1/√2-dik hatványra emeljük. Ehhez viszont csak közelítőértékeket tudunk adni, csak úgy, mint akármilyen irracionális számhoz, például legyen √2 értéke 1,4142, ekkor elmondhatjuk azt, hogy

√2^1,4141<√2^1,1412<1,4143, a két oldalt kiszámoljuk

1,63246<√2^1,1412<1,63258

És így tovább, addig becsüljük alulról és felülről, amíg a megkívánt hibahatárt nem érjük el.

Bocs, rosszul írtam fel, mert én a (√2)^(√2)-nt írtam fel, de nekünk a (√2)^(1/√2) értéke kellett. Plusz rájöttem, hogy lehet szépíteni is az alakon.

Tehát átírható (√2)^(1/√2) alakra. Ez a fenti hatványozás-azonosság alapján átírható (2^(1/2))^(1/√2) alakra. Használjuk a III. azonoságot (hatvány hatványozásánál az alapot a kitevők szorzatára emeljük, vagyis (a^n)^m=a^(n*m)), így kapjuk a 2^(1/2*1/√2)=2^(1/(2√2)) alakot. Ez azért praktikusabb, mert az alap nem lesz irracionális.

Vegyük 1/(2*√2) értékét két érték közé:

0,3<1/(2*√2)<0,4, így

2^(0,3)<2^(1/(2*√2))<2^(0,4), vagyis

1,23<1/(2*√2)<1,32 (az alsó becslést lefelé, a felsőt felfelé kerekítjük).

Tehát azt mondhatjuk, hogy a fent leírt két érték között van a szám értéke.

Nézzünk egy kicsit pontosabb becslést, ez már a kitevőbe egy 10 tizedesjegyű számot ad. Legyen 0,3535533905<1/(2*√2)<0,3535533906, ekkor

2^(0,3535533905)<2^(1/(2*√2))<2^(0,3535533906), vagyis

1,277703<2^(1/(2*√2))<1,277704

Ez már egy viszonylag biztonságos becslés (a két becslés között egymilliomod az eltérés), ezért bátran használhatjuk számításaink során a

2^(1/(2*√2))~=1,2777 becslést. Persze, ha ennél pontosabb becslést szeretnénk, akkor 1/(2*√2) értékét annál pontosabban kell becsülnünk, kerekítenünk.

Egyébként, elég beírni a WolframAlphába, az szinte rögtön megadja az értékét (természetesen az is csak kerekített érték, mivel ez a szám irracionális, viszont nemtudomhány tizedesjegyre pontosan megadja az értékét).