Ez a matematikai eset tényleg paradoxon?

Kicsit egyszerűsítsük a dolgot. Legyen egy egy méter szélességű, téglalap alakú táblánk, ahova tökéletesen véletlenszerűen beesik egy darts tű. Mi csak a szélességet nézzük.

Mi az esélye annak, hogy egy adott fél méter szélességű területere esik be a darts tű? Hát 1:2. Mi az esélye annak, hogy egy 10 cm széles területre esik be? 1:10. Gondolom ez érthető.

Oké. Mondhatsz egy akármilyen kicsi – de nullánál nagyobb – valószínűséget, és meg tudok adni egy x szélességű területet, aminél pont ennyi a valószínűsége a becsapódásnak, és mivel ennek a területnek van szélessége, így vastagabb, mint egy vonal, illetve további részterületekre tudom bontani.

Legyen 1:1000 a becsapódás valószínűsége. Oké, akkor pont 1 mm széles csíkba fog ekkora eséllyel becsapódni. Ez vastagabb, mint egy 0 mm-es vonal, és felosztható mondjuk két 0,5 mm-es területre, aminél kisebb a becsapódás valószínűsége.

Azt mondod, akkor legyen a becsapódás valószínűsége 1 a trillióhoz. Akkor mutatok neked egy egy attométeres 0,000 000 000 000 001 mm széles sávot, pont ekkora a valószínűsége annak, hogy ide csapódik be a tű. De ez még mindig vastagabb, mint egy 0 mm széles vonal.

Bármilyen kicsi, de 0-nál nagyobb valószínűséget mondasz, az egy vonalra becsapódás valószínűsége ennél kisebb. Logikus tehát azt mondani, hogy egy vonalra a becsapódás valószínűsége nulla, hiszen ha ennél nagyobb lenne, akkor már lenne szélessége a területnek, tehát nem lenne vonal, illetve több – sőt végtelen – vonal rajzolható az adott területen.

A ponttal ugyanez a helyzet, hiszen a mi vonalaink a szélesség dimenziójában egy-egy pontnak, az x koordinátán egy-egy számnak felelnek meg. Két dimenzióban ugyanúgy végtelen számú pont van, így a végtelenségig osztani kell a valószínűséget. Bármilyen kicsi valószínűségű területen több különböző pont helyezhető el.

Ez valóban paradoxonnak tűnik, ha abból az állításból indulunk ki, hogy egy vonal, egy sík, vagy egy tér pontokból áll, azokból tevődik össze. De ez így nem igaz. A pont egy absztrakció. Valóban végtelen számú található egy egyenesen, de nulla kiterjedésű pontból bármilyen sokat teszel szorosan egymás mellé, attól a szélességük még nulla marad. 0*10 = 0, 0 * 1000 = 0, 0 * nyolctrillió = 0, 0 * googolplex = 0.

A vonal tehát nem pontok sokasága. Inkább szakaszok sokasága, mely szakaszok mind végtelen számú szakaszra bonthatók, így végtelen számú kezdő és végpontja van ezen szakaszok összességének.

A paradoxont és azok irracionális következményeit igazán jól a határérték számítás oldja fel jól.

"hogy egy darts táblán az esély hogy egy bizonyos pontot eltalálj az 0"

Az ilyen geometriai módon megoldható valószínűségi feladatokra általában igaz, hogy a pontos értékek valószínűsége nulla. Ezért hibás így számolni, egyszerűen hibás az okfejtés.

Ez olyan, mintha azt mondanám, hogy egy pontnak nincs kiterjedése, vagyis a felülete nulla. És mivel a Föld felszíne pontokból áll, a Föld felszíne is összesen nulla.

Remélem érezhető, hogy hibás a logika. Ez nem más mint hibás matematika, laikusokkal "megetetve".

"Ez olyan, mintha azt mondanám, hogy egy pontnak nincs kiterjedése, vagyis a felülete nulla. És mivel a Föld felszíne pontokból áll, a Föld felszíne is összesen nulla.

Remélem érezhető, hogy hibás a logika. Ez nem más mint hibás matematika, laikusokkal "megetetve"."

Nem egészen. Pontosabban nem ott van benne a hiba.

1. Vehetjük a pont kiterjedését a valóságban pozitívnek, akkor pozitív valszín jön ki... (Amit én láttam dartsot az pl véges sok pontból állt amúgy is).

2. Vehetjük a pont kiterjedését zérónak (valahol ez is érthető nagyon is), ekkor mindenféle találat valszínje nulla. Más szavakkal kapunk egy valószínűségi mezőt, ahol minden elemi esemény valszínje nulla. Szép példa arra, hogy nulla valószínűségű esemény nem feltétlen lehetetlen.

Másrészt ebben a példában igaz, hogy minden pont eltalálásának a valszínje nulla, de ha egy pozitív területű részt adsz meg, akkor annak a valszínje, hogy a kijelölt részt eltalálod már pozitív!!

Tehát nem igaz az, hogy nulla területű pontokból áll a céltábla, ezért nulla lenne a területe, ez hírből sem igaz. De nem azért, mert nem mondhatom, hogy a pont területe nulla, mondhatom azt.

Csakhogy azokat a nullákat nem lehet összeadni, mert nem "megszámlálhatóan végtelen" sok van, hanem "kontinuum sok" van.

Ide vág az az elmélet is, hogy nem tudjuk pl. megmérni, mekkora a Balaton kerülete. Ugyanez, csak fordítva. Minden attól függ, mekkora pontossággal dolgozunk. Valahol megírják, hogy 200km hosszú a partja. Erre valaki: Jó, jó, de nem számoltuk bele azokat a köveket a partján, amik jóval göcsörtösebbé teszik azt. Egy egy ilyen kő, ha szabócentit tekerünk köré 1m-el is növelheti a kerületet. Jó, legyen a kerület 750km.

Erre a másik: Ok, de a köveknek barázdái is vannak...

A harmadik: A barázdáknak alig észrevehető karcolásai vannak, a betonszegélyek érdességéről nem is beszélve...

Eljutunk addig, hogy a Balaton-part kerülete tart a végtelenhez. Kérdezzünk csak meg egy fraktálokhoz konyító embert.

"Eljutunk addig, hogy a Balaton-part kerülete tart a végtelenhez."

Egy valóságos létező dolog kerülete nem lehet végtelen! Ugyanis ha az összes őt alkotó atomot egymás mellé raknánk sorban, akkor sem lenne végtelen hosszúságú a kapott egyenes. Tehát ebből kifolyólag a kerülete sem lehet végtelen, hiszen egy karcolat sem lehet kisebb mint mondjuk egy atom. A karcolásoknak, barázdáknak, repedéseknek is van egy hátára, melynél kisebbek nem lehetnek.

És kérdező. Attól függ mennyire tudjuk kiszámolni egy darts találati helyét a táblán, hogy milyen kis részekre osztottuk föl a dartstáblát. Ha 1cm-es területű foltokra osztottuk, akkor nyilván nagyobb a valószínűsége, hogy egy adott foltba beletalálj, mintha 1mm-es foltokra lenne felosztva.

Akkor sincs baj, ha nulla felületű pont eltalálását veszem alapkövetelménynek.

Mert akkor viszont a tábla felületem végtelen sok ilyen pontból fog állni, kapok egy végtelenXnulla határértéket, ami, ha a tű hegyméretét közelítem a nullához és a pontok számát ezzel a végtelenhez, természetesen a valós fizikai arányban, a végtelenXnulla határérték pontosan ki fogja adni a tűhegy felület és a táblafelület arányát, mint találati esélyt.

Persze a megfelelő arányú végtelenhez és nullához tartáshoz a kiinduló adataim a tű és a tábla felülete, tehát az egésznek semmi értelme, azon kívül, hogy szerepel így benne a nulla valószínűség egyetlen pontra.

Nem 0.

A tűhegynek is van felülete, és ha azt mondjuk, hogy onnantól becsapódott, hogy az hozzáért, akkor a valószínűség:

tűhegy felülete/tábla felülete.

Kicsi, de így van.

Te a folytonos valószínűségeloszlások (egyenletes, exponenciális, normális..) témakörére tapintottál rá. Nem paradoxon, ki van ez szépen dolgozva.

Egy kis analízist kellene tanulnod, Newton (és Leibniz) nevű urak a 17. században szépen kidolgozták ezt a témát.

Csak egy egyszerű példa:

n*(1/n) szorzat ugye mindig 1

mármost ha n-et egyre nagyobbra választod, akkor is 1 jön ki, akkor is, ha n a végtelen felé tart, és ekkor 1/n a nulla felé

Ja, és különösen ajánlom Péter Rózsa: Játék a végtelennel című könyvét, e tárgykörben alapmű, és "izgalmas" is.

Három dolog.

Az "összeadás", mint mûvelet 2 változós. Nem dobálhatsz bele végtelen dolgot, hogy adja õket össze. Néha lehet, de, nem lehet mindennel, és, nem lehet úgy, hogy a megszokott dolgok teljesüljenek. Például végtelen darab +1 és végtelen darab -1-nek tipikusan nincs összege. Vagy a (-1)^k/k alakú számokak sincs. Mibõl gondolod, hogy kontinuum sok nullának lesz "összege"?

Az olyan összefüggések, amelyekben végtelen szerepel, gyakran limesz estben jönnek elõ, és, a végtelen jel mint jel kb azt jelenti hogy "bármely végtelenhez tartó sorozat eseten".

A "valószínûség" egy függvény. "Valamikhez" rendel hozzá valós számokat. Te a valamiket "adtad össze", majd, elvártad, hogy a hozzájuk rendelt értékek is összeadódjanak. Ez a legtöbb függvényre nem teljesül. Például az x^2 függvényre sem: (x+y)^2 =/= x^2 + y^2.

A valószínûségre sem teljesül, csak, megszámlálható (diszjunkt) összeg esetén. (Ahol az "összeg" most uniót jelent.)

+1: a kérdésben megfogalmazott 'paradoxon' ugyanúgy fönn áll akkor is, ha mindenhol kicseréled a "valószínûség" szót arra, hogy "terület". Szóval ezzel a paradoxonnal legkésõbb 4. osztályban már szembe kellett kerülnöd, hogy 0 területû pontok együtt már egy fél négyzetméteres darts táblát alkothatnak.

(Nem véletlen, a valószínûség-függvény ebben az esetben konkrétan a terület, leosztva egy konstanssal hogy a tábla valószínûsége 1 legyen)