A 123,321 egy olyan tizedestörtszám, ahol a szám egészrészében szereplő számok a törtrészben fordított sorrendben helyezkednek el. (kérdés a magyarázatban) (? )

Nem inkább egy házi feladat neked? (Legalábbis a nehézségéből ítélve…)

Amúgy 499 999,5.

Na, így, hogy már ketten is egyetértünk a megoldásban, álljon itt talán egy kicsit nehezebb, de hasonló fejtörő:

Mennyi a palindrom számok összege 100 000-ig?

(Palindrom számnak nevezzük az olyan pozitív EGÉSZ számot, melynek számjegyeinek fordított sorrendben történő leírásával az eredeti számot kapjuk. Például az 1331, a 666 vagy a 48 784.)

Az első tükörszám 1,1 , a második 2,2 , aztán 3,3 , az utolsó 999,999

Nem kell mást csinálni mint összeadni 1-től 99-ig az egész számokat, aztán 0,1-tól 0,999-ig a tizedes törteket, aztán a két eredményt összeadni.

1-től 999-ig az egész számok összege (1+999)*999/2 = 499500

0,1-től 0,999-ig a tizedes törtek összege:

0,1-től 0,9-ig: 0,1+0,2+0,3...+0,9 = 4,5 , mert (0,1 + 0,9)*9/2 = 4,5

0,01-0,09-ig: 0,45

0,11-től 0,99-ig: 47,95

0,001-től 0,009-ig: 0,045

0,011-től 0,099-ig: 4,795

0,111-től 0,999-ig: 488

Tehát az összeg, amit a kérdező keres:

499500 + 4,5 + 0,45 + 47,95 + 0,045 + 4,795 + 488 = 500045,74

Oké, lehet, hogy tényleg nehéz feladat…

> „aztán 0,1-tól 0,999-ig a tizedes törteket, aztán a két eredményt összeadni.”

Miért nem 0,001-től? Csak azért, mert a 100,001 is szerepel a számok között… Másrészt nem a tizedes törteket adjuk össze (azok összege nem is létezik), hanem az n/1000 alakú számokat, ahol n egész. Viszont így 1/1000-et kiemelve a törtrészek összege 1/1000*sum(n, n = 1..999) = 1/1000 * 999*1000/2 = 499,5. Ezt hozzáadva az egészrészek összegéhez a tükörszámok összege 499500 + 499,5 = 499 999,5.

Aztán a 11:50-es hozzászólásban kínosan ügyelsz arra, hogy 0,1-et ne számold kétszer, viszont a 0,2-et, 0,3-et,… 0,9-et egy csomószor beleszámolod az összegbe, ha megnézed. Ráadásul például a

> „0,11-től 0,99-ig: 47,95”

összeg nekem 48,95-re jön ki, de mindegy.

***********------------************

De egy másik módszer, hogy ne csak a szám járjon. Számoljuk ki az összeget írásbeli összeadással.

A 10^(–3)-os helyiértéken álló számjegyek összege.

Itt csak akkor áll számjegy, ha a tükörszám egészrésze háromjegyű, és ekkor az első számjegy áll itt. Azaz 100 esetben 1-es, 100 esetben 2-es,… 100 esetben 9-es. Ezek összege 100*1 + 100*2 + … + 100*9 = 100*(1 + 2 + … + 9) = 100*45 = 4500. Tehát az 10^(–3)-as helyiértéken 0 szerepel, maradt 450.

A 10^(–2)-os helyiértéken álló számjegyek összege.

Nézzük meg, hányszor szerepel itt az x számjegy. Itt vagy akkor áll az x számjegy, ha a szám háromjegyű, ekkor az első jegye 9-féle lehet, a második az x, ez egyféle, a harmadik 10-féle lehet, ez összesen 90 lehetőség; vagy akkor, ha a szám kétjegyű, viszont akkor a második jegye miatt 10-féle lehet szám. Tehát az x számjegy ezen a helyiértéken 100-szor szerepel. Az ezen a helyiértéken szereplő számjegyek összege 100*1 + 100*2 + … + 100*9 = 4500.

Hasonlóan végiggondolható, hogy az összes többi helyiértéken szereplő számjegyek összege is 4500 lesz.

Na most, a 10^(–3)-os helyiértéken szereplő jegy a 0, maradt a 450.

A 10^(–2)-os helyiértéken szereplő jegy 4500 plusz a maradék (4500 + 450 = 4950) utolsó jegye, tehát a 0, maradt a 495.

A 10^(–1)-es helyiértéken szereplő számjegy 4500 + 495 = 4995 utolsó jegye, azaz 5, maradt 499.

Az 1-es helyiértéken szereplő számjegy a 4500 + 499 = 4999 utolsó jegye, azaz 9, maradt 499.

A 10-es helyiértéken 9-es lesz, marad 499.

A 100-ason is 9-es lesz, marad 499.

Az 1000-esen is 9-es lesz, de már csak 49 a maradék.

A 10000-esen szintén 9-es szerepel, de már csak 4 a maradék.

Végül a 100 000-es helyiértéken egy 4-es áll, és nincs maradék, tehát készen vagyunk.

Összeolvasva a végeredmény: 499 999,5.

*********------------*************

Másik érdekes nehezítés lehet, hogy ne kerek számig adjuk őket össze, hanem mondjuk 500-ig vagy 542-ig.