Hogyan lehet bebizonyítani a köveetkező egyenlőséget: 3. -ig gyök alatt (20+14√2) +3. -ig gyök alatt (20-14√2) =4?

köbgyök((2+√2)^3) + köbgyök((2-√2)^3) = 2+√2 + 2-√2 = 4

Végezd el a köbre emelést, és az eredeti egyenletet kapod.(?)

Azonos gyökök (most éppen köbgyökök) összegére nincs azonosság, így meg kellene próbálni a gyökjel alatt valamiféle átalakítást. Lévén hogy a gyökkitevő páratlan (három), ezért alatta tetszőleges előjelű kifejezés állhat. Azaz egy teljes harmadik hatványt kellene kialakítani (ha lehet), mert innen a definíció alapján köbgyök(valami^3)=valami.

Nevezetes azonosság, hogy (a+b)^3=a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3, illetve hogy (a-b)^3=a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3. Gyanús az is, hogy csak egész és gyök(2) számszorosa van a kifejezésben. Belátható, hogy a és b közül az egyik egész kell legyen, a másik pedig gyök(2), vagy annak számszorosa. Hiszen utóbbi páros kitevős hatványa egésze, páratlan kitevő hatványa pedig önmaga számszorosa.

Legyen a=2 és b=gyök(2), ezzel (a+b)^3=(2+gyök(2))^3=2^3+3*2^2*gyök(2)+3*2*(gyök(2))^3+(gyök(2))^3=8+12*gyök(2)+12+2*gyök(2)=20+14*gyök(2), tehát stimmel. A másik tag alatt nyilván (2-gyök(2))^3 áll. Végül köbgyök((2+gyök(2))^3)+köbgyök((2-gyök(2))^3)=2+gyök(2)+2-gyök(2)=4.