Hogyan tudom kiszámolni egy egyenes egyenletét egy kör egyenletéből?

Ugye az egyenes egyenlete mindig a*x + b*y = c, na most ha az egészet elosztjuk egy számmal, akkor kicsit más egyenletet kapunk, például a/c*x + b/c*y = 1, de ez ugyanazt az egyenest írja le, tehát ebben lényegében csak 2 paraméterünk van. (Plusz át is lehet rendezni, ugye, de akkor a konstansok sem változnak, az egyenes meg pláne nem.)

Amikor érintőt akarsz húzni a körhöz, akkor is van egy szabad paramétered, még pedig az, hogy melyik pontban akarod érinteni, vagy milyen meredekségű egyenessel, vagy melyik ponton áthaladó egyenessel stb. Ennek függvényében a legegyszerűbb számolási mód változhat.

Az általában működik, hogy rögzíted az egyenes egyik paraméterét (például meredekségét, vagy fent az a/c-t,…), aztán kifejezed belőle y-t (ha ez értelmetlen lenne 0-val osztás miatt, akkor az x-et), és aztán ezt helyettesíted a kör egyenletébe. Ekkor lesz egy paraméteres másodfokú egyenleted, aminek azt szeretnéd, hogy pontosan 1 gyöke legyen, hiszen ilyenkor lesz egy közös pontja a körnek és az egyenesnek, tehát fogják egymást érinteni. Tehát fel kell írni a diszkriminánst az 1 szabad paraméterrel, aztán megnézni, hogy mikor lesz 0, és készen vagy.

Persze, mint említettem, lehetnek más módszerek is.

Bizony, van más módszer is.

De a fő gond, hogy 1. leírása alapján is pillanatnyilag még végtelen sok megoldás van, mert kihagytál adatokat.

Nyitva hagytad a kérdést, hogy az érintő egyenesből megvan-e BÁRMI adat, át kell mennie egy ponton, megvan a meredeksége vagy ilyesmi.

Amíg ez nyitott, addig végtelen darab egyenletet lehet kihozni, nem tudsz számolni, csak egy paraméteres egyenletet lehetne felírni az egyenesre.

Egy adott kör tetszőleges pontjába húzható érintő, a körnek végtelen sok kerületi pontja van, tehát érintő is végtelen sok van. Ha azonban megadsz egy pontot (ez két adat, a pont két koordinátája például). Akkor már egyszerű a helyzet.

Rajzold le a kört, és egy pontot, onnan az érintő egyenest. Tekintsd a kör középpontját, az egyenesből megadott pontot és az (egyelőre ismeretlen) érintési pontot. Ezek egy derékszögű háromszöget alkotnak. Ebből az egyik befogót, a kör sugarát ismerheted. A kör középponti koordinátáit is ismered, így a háromszög átfogójának hosszát is kiszámíthatod. Adott tehát egy derékszögű háromszög és két oldala, akkor már a harmadik is kiszámítható. Most jön a csel. Rajzolj ezzel a sugárral egy kört a megadott pontod köré, éppen az érintési pontban metszi a körödet. A feladat két ismert köregyenletből a metszéspontok koordinátáját meghatározni. Rögtön kapsz még egy egyenest is.

Ha pedig az érintő meredeksége adott, akkor szintén szerkesztési logikában oldható meg a kérdés.

A kör középpontján át felírod az érintőre merőleges egyenes egyenletét (a merőleges meredeksége az érintő meredekségének negatív reciproka lesz, vagyis ha érintőé 2, akkor a merőlegesé -1/2), ahol ez metszi a kört (kör és merőleges egyenes egyenletrendszere), ott lesznek az érintési pontok.

Természetesen két megoldást kapsz, a kör két oldalán a két párhuzamos érintőre.