Megmagyarázná nekem valaki az origó körüli elforgatás szögfüggvényeinek értelmét?

Rajzolni kell!

Pl. Az i bázisvektor koordinátái: (1,0)

Ha ezt pozitív alfa szöggel elforgatod, akkor derékszögú háromszög keletkezik. A vízszintes metszék cos(alfa) a függőleges sin(alfa).

Hasonlóan a j bázisvektornál -cos(alfa) és sin(alfa) jön ki.

Adott tehát két oszlopvektor, [cos(alfa), sin(alfa)]^T és [-sin(alfa), cos(alfa)].

Ez a két oszlopvektor kerül a 2x2-es forgatási mátrix oszlopaiba.

Namost nálad úgy látom negatív szöggel van elforgatva, tehát teta=-alfa.

Érthető?

Tegyük fel, hogy az eredeti (x, y) pont Alfa szöget zár be az x-tengellyel.

Ekkor:

x = r*cos(Alfa)

y = r*sin(Alfa)

r a távolság az origótól.

Ezt tovább forgatva teta szöggel:

x' = r*cos(Alfa + teta)

y' = r*sin(Alfa + teta)

Innentől az addíciós tételeket alkalmazzuk:

x' = r*cos(Alfa + teta) =

r*(cos(Alfa)*cos(teta) - sin(Alfa)*sin(teta)) =

(r*cos(Alfa)) * cos(teta) - (r*sin(Alfa)) * sin(teta) =

x*cos(teta)-y*sin(teta)

az x' le is van vezetve. Ugyan így:

y' = r*sin(Alfa + teta) =

r*(cos(Alfa)*sin(teta) + sin(Alfa)*cos(teta)) =

(r*cos(Alfa)) * sin(teta) + (r*sin(Alfa)) * cos(teta) =

x*sin(teta)+y*cos(teta)

Gondoltam olyan fogalmakat és megoldásmenetet alkalmazok, amik a középiskolai matematikai ismeretekre épülnek. Mátrixok nélkül még az első válaszoló gondolatmenete is egyszerűbb volna:

Az i(1; 0) és j(0, 1) vektorok teta szöggel elforgatva:

i_teta = (cos(teta); sin(teta))

j_teta = (-sin(teta); cos(teta))

Innentől bármely v = x*i + y*j helyvektor elforgatottja:

v_teta = x*i_teta + y*j_teta =

(x*cos(teta)-y*sin(teta); x*sin(teta)+y*cos(teta))

Ugyan onnan indulunk ki, mátrixok nélkül.

Ez, meg az első válaszoló levezetése is nagyon egyszerűnek tűnhet, de a j_teta kiszámításánál megint ugyan ott vagyunk és nem egy olyan triviális feladat, hogy mindenkinek menjen. Ráadásul nem válaszoltuk meg azt se, hogy miért pont -sin(teta) a -sin(teta), az algebrai levezetésben legalább nem kell geometriázni.

Egy lineáris transzformációt teljesen meghatározza a két egységvektor képe. (vagy bármely 2 másik független vektoré)

E tény elfogadása után elég tehát az x,y=0,1 és x,y=1,0 -ra megnézned hogy mi történik.

((hasonlóan, ha te magad akarod egy lineáris transzformáció képét felírni, akkor elég ha az általad felírt képlet az egységvektorokon jól mûködik (és ilyen alakú). Vagyis az egységvektoroknak a képeinek a koordinátáiból fog állni a transzformáció mátrixa))

#6-nak. Relatív, hogy kinek mi az egyszerűbb. Mi pl. középiskolában is tanultunk mátrixokat, fakultáción.

Nem bonyolódnék bele, de sok esetben a mátrixokat egyszerűbb megérteni és alkalmazni, mivel -kellő elméleti ismeret mellett- egyszerű számításokhoz jutunk még látszólag összetettebb problémáknál is.

#7 is utalt erre. De majd ha érdekli a kérdezőt, akkor talán visszajelez, hogy ő milyen szinten áll, miket tanult eddig.

Az algebráról meg annyit, hogyha van mit, akkor miért ne szemléltessük geometriai úton?! Miért ne induljunk ki geometriailag?

Gyakran az algebrai hibákat kiküszöbölhetjük, ha a geometriai értelmet feltárjuk.