Analízis! Legyen f folytonos (0,1) -en, konvergens-e az n/2 (x-1/n-től integrál x+1/n-ig) f (t) dt függvénysorozat?

:DD

Te jó ég : D

Kíváncsi leszek a válaszra.

A (0,1) intervallum zárt vagy nyílt? Ha zárt, akkor ki lehetne indulni abból, hogy kompakt halmazon értelmezett sorozatok esetén a Cauchy-sorozatok konvergensek.

Ha felírod egy tag és valami utána következő tetszőleges tag (n+k-dik) különbségét, és szétbontod a dolgot n-es szorzós és 1/2-esre, akkor két tagod lesz.

Az első: n/2* két integrál különbsége. Ennél a két integrálnál ez elsőnek a határai az első tagé (x-1/n és x+1/n), a másodiké a másodiké (x-1/(n+k) és x+1/(n+k) ). Ezek az integrálközép tétel értelmében kisebbek (az intervallum hossza * a függvény valami helyen)-nél. Mivel maga a függvény kompakt halmazon értelmezett és folytonos, ezért korlátos Weierstrass tétele értelmében. Így az integrálok egyenként kisebbek valami küszöbszám (a függvény maximuma)*az intervallum hossza (2/n illetve 2/(n+k) ). Így ha közös nevezőre vonod őket, akkor a különbségük kisebb lesz valami küszöbszám*1/(n*(n+1)) -nél. Ezután ha a szorzóból leegyszerűsítesz n-el, akkor valami 1/(n+k)-es dolgot kapsz, ami tart nullához.

A másik tagra szintén alkalmazva az integrálközép tételt az is valami 1/n-es dolog lesz, ami szintén tart nullához.

Így a két tag összege is nullához tart, vagyis a sorozat Cauchy, így konvergens.

Nem volt túl precíz és elég nehéz szövegként leírni matekot, remélem azért érthető volt valamennyire.