Mi a 2x2-es valós 4 értékű mátrix összes négyzetgyöke?

Ha a megoldásokat [a, b; c, d] alakban keressük, akkor

[a, b; c, d]^2 = [a^2+b*c, a*b+b*d); a*c+c*d, b*c+d^2] = [4, 0; 0, 4].

Ebből van 4 egyenlet a, b, c, d-re:

a^2 + b*c = 4, b*(a + d) = 0, c*(a + d) = 0, b*c + d^2 = 4.

A második egyenlet miatt b-nek vagy (a + d)-nek 0-nak kell lenni.

1. Ha b = 0, akkor

a^2 = 4, 0*(a + d) = 0, c*(a + d) = 0, d^2 = 4.

Ezért a és d olyan valósak kell legyenek, amik abszolút értéke 2. Ez 4-féleképpen lehet, de ha egymás ellentettjei, akkor (a + d) = 0 miatt c tetszőleges lehet, tehát ez az eset a

[2, 0; 0, 2], [2, 0; c, –2], [–2, 0; c, 2] és [–2, 0; 0, –2]

alakú mátrixokat adja, ahol c tetszőleges.

2. Ha b nem 0, akkor a + d = 0, tehát d = –a. Ezzel a harmadik egyenlet is automatikusan teljesül, és az első meg az utolsó pontosan ugyanaz lesz:

a^2 + b*c = 4, b*0 = 0, c*0 = 0, b*c + a^2 = 4.

Mivel más megkötés nincs, ezért a, b és c közül szabadon választhatunk 2-t, és az egyértelműen adja a 3.-at. (Illetve ha mátrix elemek csak valósak lehetnek, akkor figyelni kell, hogy a^2 = 4 – b*c ne legyen negatív, azaz 4 legyen nagyobb vagy egyenlő, mint b*c.) Tehát a mátrix

[a, b; (4 – a^2)/b, –a]

alakú, ahol a tetszőleges és b nem 0.

Pontosan ez az 5-féle megoldás van, más nincs, mert megvizsgáltam az összes lehetőséget, és mindegyik során ekvivalens átalakításokat végeztem. (Persze nyilván lehet ezeket más alakban írni, de ha kiválasztjuk a konkrét számokat, akkor ezeken kívül mást nem kaphatunk.)