Hogyan írjuk helyesen?

Jól gondolod, hogy ilyen esetben különírandó.

(Hogy miért, azt szerencsére nem kérdezted, úgyhogy nem fejtem ki. :-)

Igen, nagyjából jól gondolod.

ezután (= ezentúl) 136.; de: ez még a híradó, ez után következik a film; ez után az eset után 130. c)

Hasonló példák a szótárból:

ezalatt: sokáig távol volt, ezalatt nagyon megváltozott; de: itt egy fa, ez alatt megpihenhetünk; ez alatt a fa alatt 130. c)

ezenfelül v. ezenfölül (= és még); de: eddig igen, de ezen felül v. fölül már nem

ezentúl (= mostantól kezdve) 136.; de: itt a határ, ezen túl már más megye van

eziránt 136.: hazudott, eziránt nincs kétség; de: ez iránt a film iránt 130. c)

A hivatkozott szabályok:

130. c) Az a, e, az, ez mutató névmásból és a különféle névutókból álló kapcsolatokat egybeírjuk, ha egységes határozószót alkotnak, továbbá ha rámutatószói szerepűek, vagy ha kötőszószerű szerkezetek részei: Ezelőtt másképp hívták. Ezután mindig jó leszek. Mindent megbeszéltünk, eszerint cselekedj! Nincs kétségem afelől, hogy ő tette. Azalatt, míg nyaraltok, kifestetem a lakást. Elment anélkül, hogy köszönt volna. Dolgozz, ahelyett hogy heverészel! Stb. [Vö. 84., 243. d)] Ha ellenben a névmással nyomatékos rámutatást fejezünk ki, akkor csak a különírás a helyes: a köré a ház köré; a szerint kell eljárni, nem e szerint; a nélkül a könyv nélkül; Itt a hiba, e miatt nem működik a gép. Mindene a zene, csak az iránt érdeklődik. Stb.

136. Sok eset mutatja, hogy egybeírandó az olyan összetétel, amely egészét tekintve más szófajú, mint utótagja önállóan volt: csúszómászó, járókelő; földalatti, munkanélküli; ennivaló, hártyásszárnyúak stb. (melléknévből főnév); tegnapelőtt, visszafelé, éjféltájban, elsősorban stb. (névutós vagy egyéb kapcsolatból határozószó); ennélfogva, mindazonáltal, miután stb. (határozószóból kötőszó); nefelejcs, fogdmeg(ek), haddelhadd; nemtörődöm (ember), nemszeretem (dolog) stb. (igés kapcsolatokból főnév, ill. melléknév). – De természetesen: az utcán járó-kelő emberek, inni való víz, az első sorban ült, ennél fogva húzd stb.

Jól gondolod, külön helyes.

Itt az "ez" mutató névmás (közelre mutató), az "után" pedig névutó.

Az egybeírt változat pedig határozószó.

1.

ezután = időhatározó szó jelentése: a jövőben

Ezután uszodába fogunk járni.

2.

ez után = névutós névszó

Pl. ez után az előadás után