A pí várhatóan hányadik számjegyétől ismétli meg addigi önmagát?

"A pínél vagy más irracionális konstansoknál tudunk-e várható értéket mondani arra, hogy hányadik számjegytől lesz ismétlődés?"

Persze hogy tudunk. Soha. Definícióból adódóan. Hiszen ha ismétlődne, akkor felírható lenne két egész hányadosaként, tehát nem lenne irracionális.

2-es, nem értetted meg a kérdést. Attól még, hogy irracionális, attól még lehet benne ismétlődés, csak ez az ismétlődés VÉGES.

Például ha veszed a 0,1212+(pi/100000) számot, akkor ez is irracionális, de a 0,1212-ben az 12 számmsor ismétlődik egyszer, tehát ebben a számban a kérdező szerint a keresett érték 3 lenne.

A pí a sejtés szerint normális szám, tehát a számjegyei semmilyen statisztikai szemszögből nem megkülönböztethetőek egy uniform véletlen számsortól.

Egy uniform véletlen számsorról elmondható, hogy annak a valószínűsége, hogy az első teljes ismétlődés az első számjegy után történik 10%, hiszen ennek az egyetlen feltétele, hogy a második számjegy = első számjegy legyen. Annak a valószínűsége, hogy a második számjegy után történjen 1% (harmadik=első, negyedik=második). Annak a valószínűsége, hogy a harmadik után történjen 0.1%, ugyanígy.

Szerintem itt már látod, hova vezet a dolog: ezeknek a valószínűségeknek az összege véges, mégpedig 0.1111... = 1/9.

A pí esetében ismerjük az első mittudomén hány milliárd számjegyet (legyen ez N), és tudjuk hogy nincs benne az a fajta ismétlődés, amire gondolsz. Tehát ha van benne olyan ismétlődés, akkor az csakis az N. számjegy után kezdődhet. A fenti 0.111111... valószínűség első N darab egyesét így kinullázhatjuk. Ami marad, az egy nullához felfoghatatlanul közeli szám, kb. 0.1^N

3,14159265358979323846 26433832795028841971 6939937510 …

Ez az első 50 számjegye, többször is szerepel benne kettő számjegy egymás után. Ha egy szám megismétlődése is számít, akkor a válasz 24.

> (Akár statisztikai alapon.)

sum k/10^k ~ 0.1234.