Meghatározná valaki "x" paritását (páros, vagy páratlan voltát) a pozitív egész számok halmazán az alábbi esetben: x³=3x²+6x+1? Az ún. "nagy Fermat sejtés" alternatív megoldásához lenne köze...

> Meghatározná valaki "x" paritását (páros, vagy páratlan voltát) a pozitív egész számok halmazán az alábbi esetben: x³=3x²+6x+1?

Az egyenletnek 3 megoldása van:

x₁ ≈ -1.22668159…

x₂ ≈ -0.18479253…

x₃ ≈ 4.41147412…

Egyik megoldás sem egész (mindegyik irracionális), így a páros, illetve a páratlan fogalmak értelmezhetetlenek rájuk. (Ezek csak egész számok esetére értelmezett tulajdonságok.)

> nem azt kell bizonyítani, hogy "n" nem lehet kettőnél nagyobb, hanem azt, hogy legfeljebb kettő lehet.

A kettő ugyanazt jelenti, teljesen ekvivalens a két kijelentés. Megfogalmazhatod így is, úgy is, az egyik helyett használhatod a másikat, matematikai szempontból a szavakkal, vagy matematikai szimbólumokkal leírt két kifejezés ugyanazt jelenti:

n ≯ 2 ↔ n ≤ 2

Ha x páratlan, akkor a baloldal páratlan, a jobboldalon pedig páratlan+páros+páratlan = páros, tehát x páratlan nem lehet.

Ha x páros, akkor a baloldal páros, a jobboldalon pedig páros+páros+páratlan = páratlan, tehát x páros sem lehet. Ennyi.

> Feltételezett egyértelműség?

Nem feltételezett, hanem a reláció axiómáiból következik. Le lehetne szépen hosszan, formális logikával vezetni, de röviden és tömören ha a és b összehasonlítható – márpedig a nagy Fermat sejtésben/tételeben az n pozitív egész, azok meg összehasonlíthatók –, akkor az (a=b), az (a<b) és az (a>b) kifejezések közül pontosan az egyik lesz igaz. Ha a nem nagyobb b-nél, akkor vagy kisebb, vagy egyenlő. Ha a kisebb vagy egyenlő b-nél, akkor nem lehet nagyobb.

> A látszólagos tartalmi azonosság viszont…

Az ekvivalencia, az ekvivalencia. Nincs látszólagos, meg valódi ekvivalencia.

> Fermat maga bizonyította az "a⁴+b⁴=c⁴" eset teljesíthetetlenségét "a⁴+b⁴=c²" teljesíthetetlenségén keresztül…

Oké, ez nyilvánvaló.

> Márpedig pl. b²+1=c²-nek az egész számok halmazán nincs egész megoldása (itt most azért jó pár dolgot átugrottam)

Tényleg átugrottál pár dolgot. Oké, a b²+1=c²-nek nincs megoldása az egész számok halmazán. A b²+16=c²-nek, meg a b²+9=c²-nek, a b²+25=c²-nek, meg a b²+144=c²-nek, meg végtelen számú a²+b²=c² egyenletnek meg van. De hogy lett az a²-ből hirtelen 1?

> De mivel ezen az alapon bizonyítom, így egyértelmű, hogy ha a negyedik hatványra nem teljesül, akkor egyetlen n=4*x-re (egyetlen néggyel osztható hatványra) sem fog.

Hát hajrá! Ha n-re beláttad, hogy nincs megoldása az egész számok körében, akkor m*n-re is igaz ez. Oké, csak ezzel semmit nem mondtál az n∈ℙ esetekről. Ezeket kellene általánosan bizonyítani, aminél semmire nem mész Fermat megközelítésével.

(Ráadásul mindennek, amit leírtál semmi köze az n ≯ 2 vs. n ≤ 2 kérdéskörhöz, de sebaj.)