Meg tudjuk-e mondani anélkül, hogy mind a hármat kiszámolnánk, hogy melyik a háromszög legrövidebb szögfeletője?

A szabályos háromszögben és az egyenlő szárú háromszögben könyen belátható, hogy a leghosszabb oldalhoz tartozó a legrövidebb.

Legyen a három oldal a<b<c.

Mivel a háromszög területét úgy számoljuk, hogy (oldal)*(rá merőleges magasság)/2, ezért az oldalak a magassággal fordított arányosságban állnak. Tehát a leghosszabb oldalhoz tartozó magasság a legrövidebb, a legrövidebbhez a leghosszabb, a középsőhöz a középső, vagyis esetünkben m(a)>m(b)>m(c)

Ha behúzzuk az ugyanabból a csúcsból induló magasságot és a szögfelezőt, akkor egy derékszögű háromszöget fogunk kapni (derékszögű háromszög esetén a magasság az oldallal egybe eshet), amelynek átfogója a szögfelező, tehát az azonos csúcshoz tartozó magasság kisebb a szögfelezőnél, vagyis m(a)<s(a), m(b)<s(b) és m(c)<s(c). Persze ettől még előfordulhat, hogy az s(a) a legnagyobb, úgyhogy ez önmagában még kevés.

Hasonló okokból az is belátható, hogy a súlyvonal a két másik oldal közé esik hosszúságban, így tehát:

m(a)<b<f(a)<c

m(b)<a<f(b)<c

m(c)<a<f(c)<b

Innen azt már biztosan tudjuk, hogy

a<f(c)<b<f(a)<c

Innen tehát azt tudjuk, hogy a legrövidebb oldalhoz tartozó szögfelező nem lehet a legrövidebb.

Egyelőre már összefüggést nem látok, de sejthető, hogy a középső oldalhoz tartozó szögfelező középen helyezkedik el a relációban.