Határérték a végtelenben faktoriálisokkal és ismeretlen kitevővel? (nem feladatmegoldás, csak fogalmam sincs, hogy mit kellene meglássak)

A kifejezésed hasznosabb alakban felírva lim(1 + 1/(n-1)!)^n. Értéke 1, mert bármilyen pozitív ε-hoz található olyan nagy n, amely felett 1 < (1 + 1/(n-1)!)^n < 1+ε. Bizonyítás:

Az exponenciális függvény definíciója lim(1 + x/n)^n = e^x. Ebbe x = log(1+ε)-t helyettesítve:

lim(1 + log(1+ε)/n)^n = 1+ε

Amennyiben 1/(n-1)! < log(1+ε)/n, a te kifejezésed 1+ε-nál kisebb lesz. Ez triviálisan teljesíthető: n/(n-1)! < log(1+ε) bal oldala bármilyen kis pozitív jobb oldalnál kisebbé tehető kellően nagy n választásával.

Pedig egyszerű; elvégezzük az osztást;

(1 + 1/(n-1)!)^n

Most arra van szükség, hogy a kitevőben megjelenjen (n-1)!, ehhez hatványozzuk, de az értékváltozás elkerülése miatt annyiadik gyököt is vonunk, így rendezés után ezt kapjuk:

[(1 + 1/(n-1)!)^(n-1)!]^(n/(n-1)!)

A szögletes zárójeles rész a tanultak szerint e-hez tart, a kitevő 0-hoz, tehát a határérték: e^0=1.

Nem tudom, hogy milyen feltételre gondol a 3-as válaszoló, de megcsinálhatjuk csendőrelvvel; megsejtjük, hogy a határérték 1.

Alsó korlát: az 1 jó lesz alsó korlátnak, mivel tetszőleges n-re (n!+n)/n!>1, n>0, tehát ((n!+n)/n!)^n > 1.

Felső korlát: mivel az (1+1/n)^n sorozatról tudjuk, hogy tetszőleges n-re kisebb 4-nél (könnyebb bizonyítani azt, hogy felső korlátja 4, minthogy határértéke e), tehát a [(1 + 1/(n-1)!)^(n-1)!]^(n/(n-1)!) sorozat felülről becsülhető a 4^(n/(n-1)!) sorozattal, aminek határértéke a végtelenben szintén 1.

Tehát az eredeti sorozatot be tudtuk szorítani két 1-hez tartó sorozat közé, így annak a határértéke is 1 kell, hogy legyen.