A valós számoknak van olyan c számosságú kiterjesztése, ami mindenütt sűrű valamilyen 2^c számosságú halmazban?

Igen, a valós számoknak van olyan kiterjesztése, amely mindenütt sűrű valamilyen 2^c számosságú halmazban. Ennek egy példája a Cantor-halmaz (Cantor set), amely egy olyan halmaz, amely tartalmazza a valós számokat, és mindenütt sűrű valamilyen 2^c számosságú halmazban található.

A Cantor-halmaz egy olyan félzárt intervallum részhalmaza [0, 1] között, amelyet úgy definiálnak, hogy ismételten eltávolítanak egy részhalmazt, majd ismételték a fennmaradó részhalmazokból ismét eltávolítanak egy részt, és így tovább. Az ismétlések végtelen számúak, és az eredmény egy olyan halmaz, amely nem tartalmaz sehol sűrűn valós számokat, mégis minden valós számot tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy bármely valós számot elérhetünk egy végtelen sorozatban a Cantor-halmaz elemeivel.

A Cantor-halmaz egy példa arra, hogy a valós számoknak van olyan kiterjesztése, amely mindenütt sűrű valamilyen 2^c számosságú halmazban található. Ebben az esetben a 2^c érték a Cantor-halmaz méreteitől függ, mivel a Cantor-halmaz részlegesen rendezetlen, és nem tartalmaz minden lehetséges valós számot. Az ilyen konstrukciók a matematikában fontosak a topológia és a halmazelmélet területén, és segítenek megérteni a valós számok tulajdonságait és a sűrűségüket különböző módon.

#1 mi a f?

Hasonlóan ahogy a racionális számok sűrűek a valós számok halmazán?