Mi a mátrixok determinánsánál a "sakktábla szabály" bizonyítása?

A "sakktábla szabály" egy speciális tulajdonság, amelyet a mátrix determinánsának kiszámításához használhatunk. Ezt a szabályt ismerteti a mátrix elemeinek megfelelő elrendezése egy sakktáblán, és lehetővé teszi a determináns gyors kiszámítását. Az alábbiakban ismertetem a "sakktábla szabály" bizonyítását egy 2x2-es mátrixra, majd általánosíthatjuk nagyobb méretű mátrixokra is.

Vizsgáljuk egy 2x2-es mátrixot:

�

=

[

�

�

�

�

]

A=[

a

c

​

b

d

​

]

A "sakktábla szabály" szerint a determinánsot az alábbiak szerint számíthatjuk ki:

∣

�

∣

=

(

�

�

−

�

�

)

∣A∣=(ad−bc)

Most nézzük meg, miért működik ez a szabály.

Először is, rendezzük el a mátrix elemeit egy sakktáblának megfelelően:

markdown

Copy code

a | b

------------

c | d

Most vegyük észre, hogy a determináns számításához az alábbiak szerint kell szorzatokat kiszámítani:

Válasszunk egy elemet (pl. a) és emeljük ki a táblából.

A maradék elemekből (d, b és c) hozzuk létre egy kis 2x2-es mátrixot:

markdown

Copy code

d | b

-------

c | ?

Számítsuk ki ezen a kis mátrixon a determinánst a hagyományos módon: az átlós elemek (d és b) szorzata miinus az ellenátlós elemek (c és ?) szorzata. Tehát:

Determináns = (db - bc)

Az így kapott értéket szorozzuk meg az először kiválasztott elemmel (a):

|A| = a(db - bc)

És itt van, a "sakktábla szabály" bizonyítása egy 2x2-es mátrixra. Ez a szabály általánosítható nagyobb méretű mátrixokra is, és megkönnyíti a determináns kiszámítását olyan mátrixok esetén, ahol az elemek egyszerűen elrendezhetők egy sakktábla mintájára.

2x2-es mátrix determinánsa az egy adott térfogatú téglalap

3x3-mas az egy téglatest

nagyjából azt akarod bizonyítani, hogy a*b*c=T ?