Lineáris algebra bizonyítás?

ezt találtam:

A Zorn-lemma matematikai állítás, amelyet gyakran használnak az olyan problémák megoldására, amelyek a maximális vagy minimális elemek megtalálásával kapcsolatosak különböző struktúrákban. A kérdésedre adott válaszhoz először ismertetném a Zorn-lemma alapvető állítását, majd megvizsgáljuk, hogyan alkalmazható ez a konkrét esetben, amikor egy \(V\) vektortérből ki szeretnénk választani egy olyan \(W\) maximális alteret, amely nem tartalmazza a \(v\) nemnulla vektort.

A Zorn-lemma megfogalmazása így hangzik: Ha egy részben rendezett halmazban minden láncnak van felső korlátja, akkor a halmazban van maximális elem. Itt egy "lánc" egy olyan részhalmazt jelent, amelyben bármely két elem összehasonlítható.

Most nézzük, hogyan alkalmazhatjuk ezt a lemma-t a feladatra:

1. **Lépés**: Tekintsük a \(V\) vektortér összes olyan alterének halmazát, amelyek nem tartalmazzák a \(v\) vektort. Ezt a halmazt jelöljük \(S\)-sel. Mivel \(v\) nemnulla vektor, ezért \(S\) nem üres, mivel legalább a \(\{0\}\) alteret tartalmazza.

2. **Lépés**: Rendezzük részben \(S\)-t az inklúzió szerint, azaz \(A \leq B\) akkor és csak akkor, ha \(A\) részhalmaza \(B\)-nek.

3. **Lépés**: Mutassuk meg, hogy minden \(S\)-beli láncnak van felső korlátja \(S\)-ben. Egy lánc \(S\)-ben egy olyan alterek sorozata, ahol minden altere részhalmaza a következőnek. Egy lánc felső korlátja egy olyan alter, amely tartalmazza a lánc összes elemét. A lánc összes alterének uniója szintén egy alteret alkot \(V\)-ben, ami nem tartalmazza \(v\)-t, hiszen egyik alter sem tartalmazza. Ez lesz a felső korlát.

4. **Lépés**: A Zorn-lemma alapján, mivel minden láncnak van felső korlátja \(S\)-ben, létezik \(S\)-ben egy maximális elem, azaz egy olyan \(W\) maximális alter, amely nem tartalmazza \(v\)-t, és nincs olyan nagyobb alter \(V\)-ben, ami szintén nem tartalmazná \(v\)-t és több elemet tartalmazna, mint \(W\).

Ez a gondolatmenet bizonyítja, hogy létezik egy \(W\) maximális alter \(V\)-ben, amely nem tartalmazza a \(v\) nemnulla vektort, a Zorn-lemma segítségével. Ez a megközelítés kulcsfontosságú sok matematikai és algebrai struktúrában, különösen, amikor a maximális vagy minimális tulajdonságokat vizsgáljuk.