Mi a megoldása a következő egyenletnek?

Ne haragudj: mennyi idős vagy és hol tanulsz?

Ez egyetemi tananyag, annyi minden kell hozzá.

Ha már jól ismered a komplex számokat (azok nem csak a számegyenesen, hanem egy számsíkon vannak), még akkor is nehéz.

Persze megteheted, hogy lemásolod azt a példát, amit idéztek neked - de érteni ettől még nem fogod.

Lehet, hogy a kérdező úgy megrettent, hogy vissza se mer jönni...

Megpróbálom középiskolás tudással is érthetően leírni, mit is jelent itt a megoldás.

Először is, a 3. fokú egyenletet úgy kell átalakítani, hogy így nézzen ki: X(harmadikon)+AX+B=0

A nagybetűk most azért vannak, mert ezek nem ugyanazok, mint az eredeti egyenletben. A végén majd leírom, hogyan lehet kiszámolni ezeket.

Ezek után ennek az egyenletnek a megoldása: X=y1+y2.

y1 és y2 =

3.gyök(-B/2 +/- 2.gyök( B(négyzet)/4 + A(köb)/27) )

Tehát egy nagy 3. gyökjel alatt van egy szám, plusz/mínusz egy kisebb négyzetgyökjel alatt egy négyzet és egy 3. hatvány.

Amennyiben a négyzetgyök alatt nem negatív szám van, akkor az egyik megoldást könnyű kiszámolni valós számokkal is. Kiszámolsz mindent, összeadod, örülsz neki.

Ez egy jó megoldás, ellenőrizheted is.

No de hogyan lesz ebből 3 megoldás?

Nos: ilyenkor ennek az egyenletnek több VALÓS szám megoldása nincs. A függvény csak 1 ponton metszi az x tengelyt.

Viszont a legutolsó műveletnek: a 3. gyökvonásnak - 3 megoldása van! Mindig annyi van, de ebből legfeljebb csak 1 valós - a többi komplex szám. Le van írva, hogyan lehet kiszámolni - de szerintem sokkal jobban látható rajzolva.

A megoldás mindig az origó köré rajzolt körön van: a 3. gyöknél egy egyenlő oldalú háromszög csúcsai. Az egyik az, amit kiszámoltál - a többi ebből megszerkeszthető.

Az utolsó lépésig valós számokkal számoltál, és csak az utolsó lépésnek lett komplex eredménye: de ilyenkor a 3 megoldásból 2 mindig komplex.

Pl. a 3.gyök(27) egyik eredménye 3 - a másik kettő egy ugyanilyen hosszú vonal, amelyik az origóból indul, az egyiknek a szöge 120 fok, a másiké -120 fok (az x tengelyhez képest). Együtt egy egyenlő oldalú háromszöget adnak. Negyedik gyöknél ugyanez van, de az eredmény négyzet csúcsain van, 2. gyöknél pedig két, origóra szimmetrikus pont (pl. 4 esetén +/- 2).

Mi lesz akkor, ha a négyzetgyök alatt negatív szám van?

Akkor is ki lehet számolni: 2.gyök(-4) pl. 2 olyan pont lesz, amelyik az y tengelyen van, a hossza pedig 2 egység.

Tehát ezek tiszta képzetes számok.

Az eredeti képletben pedig a 2.gyök előtt csak a -B/2 van:

ezt úgy lehet ábrázolni a számsíkon, hogy a pontod az y tengelytől -B/2 távolságra van, a négyzetgyök előtti +/- miatt pedig 2 pontot kapsz, amelyek tükörképei egymásnak az x tengelyre.

Ebből kell aztán 3. gyököt vonni: aminek ugye 3 eredménye lesz. Vigyázat: ezek komplex számok, tehát egyik eredmény sem lesz valós! - de ugyanúgy egyenlő oldalú háromszög lesz belőle, csak kicsit elforgatva, egyik csúcsa sincs a tengelyeken. y1 és y2 is egy-egy ilyen háromszög lesz: egymás tükörképei.

Mivel ezek mindig tükörképek - ezért, ha páronként összeadod ezeket, a képzetes részek mindig kiejtik egymást, és az eredmény mindig valós lesz. Tehát ilyenkor az egyenletednek - bár végig komplex számokkal kellett számolnod - három darab valós szám eredménye lesz!

A leírás vége felé a "cos" és "arc cos" képletek azt írják le, hogyan kell számolnod, ha nem akarsz itt komplex számokkal küzdeni.

De ha közelítő eredmény is elég, szerintem egyszerűbb és sokkal érthetőbb a szerkesztés (az eredmény szöge 3. gyöknél mindig harmada az eredetinek - több megoldás azért van, mert közben többször is körbefordulhat).

Végül: ha az egyenleted nem olyan egyszerű, ahogy írtam, hanem általános alakú, akkor A és B kiszámolása:

A=(27a(négyzet)c-9ab(négyzet)) / 27a(köb)

B=(2b(köb)-9abc+27a(négyzet)d) / 27a(köb)

És x=X-b/3a