Ha két sík egy egyenesben metszi egymást, akkor két tér egy síkban?

Nézd, lehet erről elmélkedni, de sokmindenre nem fog vezetni.

Egy az, hogy olyan, hogy sík, a való világban nem létezik, ezek elméleti fogalmak. És persze ez ugyanúgy érvényes az egyenesre is. A világunkban minden térbeli.

De a gondolatmenetet folytatva, két tér(halmaz) metszete (közös halmaza) szintén egy tér(halmaz), amit síkok határolnak, melyek egyenes mentén metszik egymást.

A tér fogalmától feljebb menni (tehát 3D-nél feljebb, 4D, 5D, ilyesmi), szintén nem érdemes, arról ugyanúgy nem tudunk semmit mondani, bárki bármit mond, az csak szellemi f.szverés. Ezeknek a 3D-nél több dolgoknak igazából csak a matematikában van értelme, ott vannak ilyen egyenletek, de ezeket nem lehet átültetni a való világba.

Igen, két tér egy síkban metszi egymást. Vagy párhuzamos, ha nem metszi egymást. Az idő akkor vonható bele, ha azt is grafikusan ábrázolod, téri dimenzióként.

Egyébként érdekes dolog a négydimenziós geometria. A 4D kockát (szuperkockát) 8 darab 3D kocka határolja. Aztán ahogy a 3D testeket el tudjuk metszeni síkokkal, úgy a 4D testeket is terekkel. Ekkor nem síkidomok lesznek a metszetek, hanem 3D testek. A 4D kocka egyik térmetszete pl egy háromszög alapú hasáb.

De nem is a kocka a legérdekesebb, hanem a görbült testek. A 3D testek felszíne ugye 2D-s elem, de nem feltétlenül sík, lehet a 3. dimenzióban görbülete (lásd henger, kúp, gömb). Ugyanígy 4D-ben a 4D testet határoló 3D testek is görbülhetnek a 4. dimenzióban (igazából a gravitáció miatti térgörbületet is felfoghatjuk így, és akkor máris van valós fizikai jelentése is a dolognak, nem csak szellemi faszverés, ahogy az első hozzászóló írta).

Ahogy a gömb felszíne egy olyan 2D elem, aminek bár véges a kiterjedése, nincs egyik irányban sem vége (legalábbis a saját dimenziójában), hanem körbeérsz rajta, úgy a 4D gömböt is egy olyan 3 dimenziós test határolja, ami bár véges kiterjedésű, nincs széle, felülete. Egyes feltételezések szerint a mi világegyetemünk egy ilyesmi térrész.

Konkrétan nem tudok ilyen írásról, de remélem kedvcsinálónak megteszi, amit írtam.

Még mindig 4:50 vagyok.

Találtam egy jó kis 19. századi írást a témáról, Edwin A. Abbott Síkföld című regényét:

[link]

Bár ez inkább szórakoztató mű, mint komoly matematikai eszmefuttatás.

Még egy gondolat a 3. feletti téri dimenziókról:

A hétköznapi életben semmi bizonyíték nincs rá, hogy léteznek, igaz, cáfolni sem tudod. És mivel a magasabb dimenziók- ha léteznek is- semmilyen módon nem jelennek meg a világunkban, az átlagember számára valóban felesleges időpocsékolás ezekkel foglalkozni.

Ha azonban a nagyon kicsi vagy nagyon nagy dolgok fizikáját tanulmányozod (szubatomi részecskék viselkedése, galaxisok), akkor előbb-utóbb csak úgy tudsz a viselkedésüket leíró egyenleteket felírni, ha további dimenziókat feltételezel. Ezek nélkül egész egyszerűen nem jön ki az eredmény, ellentmondásokra jutsz. De ez már legyen a fizikusok baja.

Ha az érzékeiddel megfogható világot tekinted, akkor valóban csak a 3D-nek van értelme - csak azt tudod érzékelni (ha nem számítjuk az időt, mint negyedik dimenziót, amit szintén tudsz érzékelni). De ezeket az elvont fogalmakat nem emiatt találták ki, hanem azért, mert az idők során egy sor olyan megfigyelés akadt, amit semmi módon nem tudtak magyarázni (még a nagyon ókorban), csak úgy, hogy elméleti úton elkezdtek új fogalmakat alkotni. Nagyjából így jött létre a geometrián keresztül (és persze sok egyéb hozzáadásával) a matematika.

A matematikában nemcsak egy, két, három, stb. dimenzió létezik, hanem akárhány, sőt végtelen sok. Ezekben egy csomó szabályszerűséget - matematikai törvényeket - tudnak felfedezni. Ezek a szabályok pedig arra jók, hogy a fizikában, biológiában, kémiában olyan jelenségeket legyenek képesek a tudósok (később pedig a hétköznapi ember) megérteni, sőt továbbvinni, amelyeket enélkül nem lehetne. Például az úgynevezett n-dimenziós terek ismerete nélkül nem lenne atomfizika, atomerőművek, nem tudnánk olyan teleszkópokat készíteni, amelyek milliárd fényévekre "látnak", nem tudnánk megmagyarázni, felismerni se egy csomó idegekkel kapcsolatos biológiai jelenséget - több lenne a misztikum. Mára ezek annyira elbonyolódtak, hogy vannak olyan tudósok, akik egész életükben ezeknek a sokdimenziós tereknek a tulajdonságaival bajlódnak. Az eredményeiket pedig felhasználja a többi tudományág - mára már a társadalomtudományok is.

Az eredeti kérdésre válaszolva igen, két egyenes egy pontban, két sík egy egyenesben, két tér, egy síkban metszi egymást. Ezeknek a "tereknek" van hétköznapi nevük, mert szükség van rá, a többit csak a "tér" névvel illetjük. És általánosan két akárhány dimenziós tér mindig eggyel kevesebb dimenziós térben metszi egymást.

Van még egy fontos tulajdonság: a terek nem végesek! az egydimenziós tér, a pont végtelen kicsiny (nincs kiterjedése), a sík két, a közönséges tér három, az n-dimenziós tér n irányban végtelen.

Amiről itt néhány hozzászóló elmélkedett a görbe felületükkel, azt általánosan testnek nevezzük. Ebből is lehet különböző dimenziós (1,2,3,4, stb.) és a "felületük" szintén eggyel kevesebb dimenziós. A felület formája érdektelen, csak a dimenziója. Ezért lehet a 3D-s kockának, hengernek, stb. 2D-s lapos, vagy görbe felülete. De mindenképp 2D.

Az teljesen nyilvánvaló, hogy a 3D-s ember számára csak a 3D-s alakzat megfogható, mert csak azt tudja érzékelni. Ebben az értelemben egy 5D-s alakzat a hétköznapi ember számára valóban érdektelen.

Matematikailag nagyon egyszerű a dolog:

- Több pont legkevesebb egy dimenzióban (vagyis számegyenesen) értelmezhető, egy pont egyenlete x=A

- Több egyenes legkevesebb egy síkban értelmezhető (ez a szokásos koordináta-geometria), egy egyenes egyenlete Ax+By=C

- Több sík legkevesebb három dimenzióban értelmezhető, egy sík egyenlete Ax+By+Cz=D

- Több tér legkevesebb négy dimenzióban értelmezhető, egy tér egyenlete itt Ax+By+Cz+Dv=E

Két tér metszete az a mértani hely, ami kielégíti mindkét tér egyenletét. Vagyis meg kell oldani azt az egyenletrendszert, hogy

Ax+By+Cz+Dv=E

Fx+Gy+Hz+Iv=J

Ez 4 ismeretlen és 2 egyenlet, annyit lehet tenni, hogy az egyikből kifejezzük az egyik ismeretlent (mondjuk a v-t) és behelyettesítjük a másikba. Lesz belőle egy olyan egyenlet, amiben már csak 3 ismeretlen van:

Kx+Ly+Mz=N

ami egy sík.

Ez persze az a sík lesz, ami az igazi metszet sík vetűlete az xyz0 térben, az igazi metszet valószínű, hogy nem is a mi három dimenziós terünkben van. (Annak az egyenlete is felírható, de azt hagyjuk, csak bonyolítaná a gondolatmenetet.)

http://www.youtube.com/watch?v=UnURElCzGc0

Az időt mint dimenziót nem nagyon szokták bevenni, mivel csak 1 irányban lehet rajta közlekedni (arra is csak korlátozottan).

ha elég nagy az alaptér, amiben veszed a két 3D-s teret, akkor nem csak síkban metszhetik egymást, hanem akár egyenesben, vagy csak egy pontban, vagy akár egyetlen pontban sem (4D-ben vagy egy síkban, vagy párhuzamosak; 5D-ben ezeken felül már lehet egy egyenes is a metszet; 6D-ben vagy afelett pedig még az egy pontban metszik egymást is egy lehetőség a többi mellett)

Ha részletesebben érdekel a dolog, akkor affin terek-nek kell utánanézni, előzetes olvasmánynak meg nem ár, ha egy kicsit belenézel a vektorterek-nek (lineáris tereknek is szokták hívni őket). Ha beírod ezeket a keresőbe, vagy akár a wikibe, tuti találsz csomó értelmesen leírt dolgot.

amúgy valaki írta, hogy mekkora hülyeség a több, mint 3 dimenzió, csak agymenés, amit nem lehet átültetni a való világba - hát elég egyértelműen neki sincs semmi köze semmilyen reál tárgyhoz. Fentebb már volt, hogy a többi tudományhoz is elengedhetetlen a több dimenzió fogalma, és csomó valós életbeli dolgot aztán ezek alapján az elméletek alapján tudtak létrehozni, de hadd említsem meg a matematikának talán leggyakorlatibb kérdésekkel foglalkozó ágát, az operációkutatást, ami nagyon erőteljesen épít a többdimenziós terekre. Ez lényegében a valós életben is felmerülő optimalizálási problémákkal foglalkozik, mint pl. legrövidebb út keresése (ld. GPS), szállítmányozási kérdések, termelésirányítási kérdések, valós életben orrba-szájba előjövő problémák, és rendre úgy csinálják meg őket, hogy a feladatot leírják, mint egy sokdimenziós térben egy poliéder (egy valós gyári kérdésnél sok ezres, akár simán tízezres vagy még nagyobb nagyságrendű dimenziókról beszélünk itt), és azon futtatnak algoritmusokat, amik végén kiadnak egy olyan megoldást, amiről azonnal visszaolvasható, hogy akkor az a való életben minek is felel meg.

A másik, ami itt most hirtelen eszembe jutott, a hibajavító kódok is gyakorlatilag sok dimenziós terekben dolgoznak (tehát amiket az adásba raknak, hogy ha valami zavarja az adást, és picit rongálódik/elveszik a jel egy része, az adás vevője akkor is vissza tudja következtetni az eredeti üzenetet. Ilyen van CD-ken is pl. hogy ha megkarcolódik, és ezzel információ veszik el róla, akkor is még vissza tudja következtetni a többiből, hogy ott mi lehetett).

De egyébként ha most elkezdenénk összeülni, és mindenki bedobálná, hogy ja, ott is arra épül az egész, hogy több dimenziós terekben dolgozunk, ja, meg ott is - a végén valószínűleg egy laikusnak is lejönne, hogy kevés annál hasznosabb dolgot találtak még ki, mint a több dimenziós terek...