Milyen magasnak kellene lennie a Balaton (hosszában) egyik végében lévő toronynak ahhoz, hogy a másik végéből nézve a torony legtetején lévő fényt éppen meglássuk?

A látótávolság kiszámolásához a képlet:

L=sqrt(2*R*h)

ahol:

L = látótáv

R = a Föld sugara, vagyis 6 738 000 m

h = a szemmagasság

A vízből, vagyis ha h = 0 :

L = 3,67 Km

A Balaton hossza: 77 Km

Ennyit tudtam segíteni, és a válaszom egy részét már most mondom, egy régebbi kérdésben találtam, nem saját. Remélem valaki ebből ki tudja számolni, mert engem is érdekel :)

Az előző egyenletet használva ELVILEG kiszámolható.

[link]

Vagy neked kell 439,97 m magasan lenned, vagy a toronynak.

Találtam egy levezetés szerűséget, ami a kerekítéseket leszámítva alátámasztja az előző eredményt. Lehet, hogy nem jó, de egy próbát megér.

[link]

r a Föld sugara, i a Balaton hossza, L a látótávolság, m a torony magassága. A látótávolság a kör érintője, ezért merőleges a sugárra. Jobb esetben a torony is merőleges a talajra (hacsak nem pisai ferde tornyot akarunk építeni).

[link]

[link]

Először egy rövid magyarázat a képlet keletkezéséhez

Lásd ezt a képet

[link]

Legyen

L - a látótávolság [km]

R - az átlagos földsugár [km]

h - a nézőpont magassága a földfelszín fölött [m]

A látótávolság egy olyan derékszögű háromszög egyik befogója, amelynek másik befogója a földsugár, átfogója pedig a földsugár és a nézőpont magasságának összege

Vagyis a Pithagorasz tétel szerint

(R + h)² = R² + L²

L² = (R + h)² - R²

L² = 2Rh + h²

2R-et kiemelve

L² = 2R(h + h²/2R)

A feladat szempontjából a zárójelben levő második tag elhagyható, hiszen pl. a Mount Everest esetén is 10^-4 nagyságrendű hibát jelent. Tehát gyakorlatilag az

L ≈ √(2Rh)

képlet kielégítő eredményt ad

Ha a földsugarat km-ben, a nézőpont magasságát m-ben mérjük, a képlet

L ≈ √(K*h)

formára egyszerűsödik, ahol

K = 2R/1000

Az átlagos földsugár értékére 6371 és 6373 közötti értékeket találtam, a kettő átlagával számolva

K ≈ 12,75

Ezt 13-ra kerekítve

(A) L ≈ √(13*h) adódik.

Ennek a képletnek a hibája h = 1000 m esetén ≈+2 km

Mivel

12,75 ≈ 51/4

(B) L = [√(51*h)]/2

formula nagyon jó közelítést ad.

Mindenki eldöntheti, adott esetben melyiket használja.

A látótávolsághoz egy példa: az Írottkő kilátójáról tiszta időben látni a Balatont.

***********************

Ez egy régebbi feladathoz készített megoldás, de mostani feladatnál kicsit más a helyzet.

Mint az előző válaszoló is nagyon helyesen tette, a Balaton hosszát ívként kell venni, abból szöget számolni, majd ennek ismeretében a 'h' magasságot meghatározni.

De egy kicsit egyszerűbben is elvégezhető a feladat.

Most nincs szükség a látótávolságra, ezért más szögfüggvényt célszerű használni.

A fenti ábra jelöléseivel írható:

cosα = R/(R + h)

Ebből azonnal megkapható a keresett érték

h = R(1/cosα - 1)

formában.

A körív ismeretében a szög

α = (180/π)*(i/R)

Egy apróság: a földsugár értéke nem jó, akárhonnan vette is a kérdező. Szerintem elírás történhetett, mert az egyenlítői földsugár kb 6378 km, az átlagos meg kb. 6372 km. Ez a megoldás lényegét nem érinti, csak kicsit más értékek adódnak.

Ezekkel az elvi megoldás

α = 0,692 °

és

h ≈ 0,465 km ≈ 465 m

=================

Egy meggondolásal tovább lehet egyszerűsíteni a megoldást.

Kis szögeknél alkalmazható az

α ≈ sinα

közelítés (a szöget radiánban értve). A mi esetünkben ez a két érték csak a 7-ik tizedesben tér el egymástól.

Ez azt jelenti, hogy az ívet lehet helyettesíteni a hozzá tartozó húrral.

Ha a Balaton hosszát B-vel jelöljük, akkor a szöget a

sinα/2 = B/2R

összefüggésből lehet megkapni.

Vagyis

α/2 = 0,346...°

így

α = 0,69237...°

(Ívként számolva

α = 0,69236...°

Látható, hogy csak az 5-ik tizedestől kezdve van eltérés.)

A magasságot aztán a

h = R[(1/cosα) - 1]

képlettel lehet kiszámítani.

Remélem, kielégítő választ kaptál a kérdésedre. :-)

DeeDee

***********

Bocs, rossz a fenti link, a jó hely

[link]

DeeDee