ABCDE*F=GGGGGG Milyen számokat írhatunk a betűk helyére?

79375 × 7 = 555555

(Ha minden egyes számnak különböznie kell, akkor bocsi, de hajnali 1-kor ne várj többet :D)

ABCDE*F=GGGGGG

Ha különböznie kell a számjegyeknek, akkor G nem lehet nulla, hiszen ekkor F-nek, vagy ABCDE-nek nullának kellene lennie.

Ha F<G, akkor igaz, hogy G=F+n, ahol n pozitív egész.

Ekkor nézzük meg, igaz-e az alábbi egyenlőtlenség:

GGGGGG/F < 100000 - azaz ABCDE ötjegyű szám-e?

111111*G/F < 100000

111111*(F+n)/F < 100000

111111*F/F + 111111*n/F < 100000

111111 + (n/F) * 111111 < 100000

n/F * 111111 < -11111

n/F < -0,09…

Mivel F is és n is pozitív egész, ezért az egyenlőtlenség nem áll fenn. Ez azt jelenti, hogy ha F<G, akkor GGGGGG/F legalább hatjegyű szám, tehát nem lehet ABCDE alakú.

(Ebből az is következik, hogy G nem lehet 9.)

G tehát 1-8-ig lehet valamelyik számjegy. Írjuk fel, hogy milyen számjegyek jöhetnek számításba, és bontsuk prímtényezős alakokra. Olyan F-et kell keresni, ami a prímtényezőkből kijön – egyjegyű, illetve prímtényező, vagy több prímtényező szorzata), és ahol F>G. (Az előzőekben láttuk, hogy F nem lehet kisebb, mint G, mert akkor a GGGGGG/F hatjegyű lenne. Nem lehet F=G, mert akkor F és G nem különböző számjegyeket jelent.)

G=1 > GGGGGG=111111 = 3*7*11*13*37

F=3 > GGGGGG/F = 37037 - nem jó, a számjegyek nem különböznek

(A) Ezzel egyben kilőttük a G=2, F=6, illetve a G=3, F=9 párosokat is, mert ezeknek is ennyi az eredményük.

F=7 > GGGGGG/F = 15873 - nem jó, mert így D=F

G=2 > GGGGGG=222222 = 2 * 3*7*11*13*37

F=3 > Lásd: (A)

F=6 > GGGGGG/F = 37037 - nem jó, a számjegyek nem különböznek

F=7 > GGGGGG/F = 31746 - nem jó, mert C=F

G=3 > GGGGGG=333333 = 3 * 3*7*11*13*37

F=7 > GGGGGG/F = 47619 - nem jó, mert B=F

F=9 > Lásd: (A)

G=4 > GGGGGG=444444 = 2*2 * 3*7*11*13*37

F=6 > GGGGGG/F = 74074 - nem jó, a számjegyek nem különböznek

F=7 > GGGGGG/F = 63492 - nem jó, C=G

G=5 > GGGGGG=555555 = 5 * 3*7*11*13*37

F=7 > GGGGGG/F = 79365 - nem jó, A=F

G=6 > GGGGGG=666666 = 2*3 * 3*7*11*13*37

F=7 > GGGGGG/F = 95238 - !!! JÓ, A SZÁMJEGYEK KÜLÖNBÖZŐEK !!!

F=9 > GGGGGG/F = 74074 - nem jó, a számjegyek nem különböznek

G=7 > GGGGGG=777777 = 7 * 3*7*11*13*37

Nincs megfelelő F érték

G=8 > GGGGGG=888888 = 2*2*2 * 3*7*11*13*37

Nincs megfelelő F érték

Az egyetlen megoldás tehát: 95238 * 7 = 666666