Hogyan tudom bizonyítani a lineáris függetlenséget?

Általában a definíció alapján lehet. A lin. ftlenség (egyik) definíciója az, hogy ha egy lin. komb. eredménye 0, akkor az összes együttható is 0. Azaz fogod azokat a vektorokat, amikről be akarod bizonyítani, hogy így együtt függetlenek, veszed egy _általános_ linerális kombinációjukat (azaz a1*v1+a2*v2+...+ak*vk), és ezt egyenlővé teszed 0-val. Ezután addig nézed (alakítod, varázsolsz vele), amíg ki nem jön valahogy, hogy ai=0 minden i-re.

Mutatok példát: legyen v1, v2, v3 lin. ftlen-ek. Bizonyítsuk be, hogy u1=v1+v2, u2=v2+v3, u3=v3+v1 is azok!

Írjuk fel az u-k egy lin. kombját: L=a1*u1+a2*u2+a3*u3. Szeretnénk, hogy L=0 esetén kijöjjön, hogy a1=a2=a3=0.

Írjuk be L-be az u-k definícióját, és rendezzük egy kicsi.t Ekkor ezt kapjuk: L=(a1+a3)*v1 + (a2+a1)*v2 + (a3+a2)*v3. v1, v2, v3-ról már tudjuk (így szólt a feladat), hogy lin. ftlenek, AZAZ L=0 esetén a1+a3=0 és a2+a1=0 és a3+a2=0. Ezt az egyenletrendszert megoldva kijön, hogy a1=a2=a3=0, vagyis u1, u2, u3 tényleg lineárisan függetlenek.