Hány olyan 2011cm kerületű trapéz van melynek oldalai egész számok?

Rengeteg. :-)

Kicsit pontosabban:

A trapéz oldalait jelöljük a, b, c és d-vel. b és d a két szár, a a teteje, c az alapja.

Látni kell, hogy mivel egyenlő szárú trapézról van szó – gondolom egyenlő oldalú helyett egyenlő szárút akartál írni –, ezért a kerület a+b+c+d. Mivel b=d, ezért a kerület a+2*b+c. Ez csak akkor lesz páratlan, ha a és c közül pontosan az egyik páratlan. (Azaz a és c nem lehet egyszerre páros, vagy egyszerre páratlan.)

Csak azokkal a trapézokkal kell foglalkozni, aminél a<c, hiszen aminél a>c, az egybevágó egy másik olyan trapézzal, aminél a<c. Az a=c eset nem fordulhat elő az előző következtetés miatt (a és c közül pontosan az egyik lehet csak páratlan).

Még egy összefüggést kell figyelembe venni, hogy a c alap nem lehet hosszabb, mint a+b+d. Ebből következik, hogy a c oldal semmiképpen nem lehet nagyobb, mint 2011/2, azaz 1005.5 cm. Mivel c csak egész szám lehet, ezért c≤1005.

Nézzük mi van, ha a=1:

Ebben az esetben c-nek párosnak kell lennie. c tehát 2-től indulhat és 1004-ig mehet el. Ez 502 különböző trapézt jelent.

Ha a=2, akkor:

Ebben az esetben c-nek páratlannak kell lennie. Mivel c-nek nagyobbnak kell lennie a-nál, ezért c 3-tól 1005-ig változhat, ami összesen 502 különböző trapézt jelent.

Ha a=3, akkor:

c 4-től 1004-ig mehet (párosával). Ez 501 különböző trapézt jelent.

Ha a=4, akkor:

c 5-től 1005-ig mehet (párosával). Ez 501 különböző trapézt jelent.

Ha a=5, akkor c 500 különböző értéket vehet fel (6-tól 1004-ig párosával).

Ha a=6, akkor c 500 különböző értéket vehet fel (7-től 1005-ig párosával).

stb…

Az a legnagyobb értéke akkor lehetséges, ha b=d=1, így a+c=2009, azaz a=1004 és c=1005. Ha a=1004, akkor c nem is vehet fel más értéket.

Ha a=1003, akkor c 1004 lehet csak, tehát ilyen trapézból is csak egy lehet.

Mint látható, az összes trapéz darabszáma megegyezik az összes 1 és 502 közötti egész szám összegének duplájával, ami 2*(1+502)*502/2 = 503*502 = 252 506 darab trapézt jelent.