Ezt hogy lehetne bebizonyítani? Ha x, y és z pozitív számok, akkor: x^3/4+y^3/4+z^3/4 > (x+y+z) ^3/4

Ha helyesen van leírva az egyenlőtlenség, azaz az x^3/4 itt (x^3)/4-et jelenti, akkor egyszerű a dolog:

Szorozd meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát 4-el:

x^3 + y^3 + z^3 > (x+y+z)^3

Bontsd ki a jobb oldalt a Binomiális-tétel alapján – vagy egyszerűen csak vezesd le a szorzás és összeadás műveleteinek segítségével –

x^3 + y^3 + z^3 > x^3 + y^3 + z^3 + 3*x^2*y + 3*x^2*z + 3*x*y^2 + 6*x*y*z + 3*x*z^2 + 3*y^2*z + 3*y*z^2

Vond ki a bal oldalnak megfelelő kifejezést mindkét oldalból:

0 > 3*x^2*y + 3*x^2*z + 3*x*y^2 + 6*x*y*z + 3*x*z^2 + 3*y^2*z + 3*y*z^2

Ez azt állítaná, hogy a jobb oldali kifejezés negatív. Viszont mivel x, y és z is pozitív, ezért a jobb oldal összegében minden tag pozitív, tehát az összeg is pozitív.

Az egyenlőtlenség tehát nem lehet igaz.

Első blikkre akkor azt mondom, hogy emeljük negyedik hatványra az egészet. Mivel pozitív számok hatványairól van szó, mindkét oldal pozitív. A negyedik hatványra emelést meg lehet tenni a bal oldalon, a jobb oldalon meg ugye egy (x+y+z)^3 kifejezés marad, tehát mindkét oldalt át lehet alakítani polinommá, így lehet vele elméletileg dolgozni. Hogy kijön-e valami így belőle, azt nem tudom. Sejtésem szerint nem, de ez más kérdés. Ha lesz időm, akkor esetleg foglalkozok vele, de ez kicsit hosszadalmasabb. Vagy ha esetleg lesz jó ötletem, akkor szólok.

Sejtésem szerint valóban igaz az egyenlőtlenség, hiszen egynél kisebb hatványra emelünk.

Ötlet:

a := x^(1/4)

b := y^(1/4)

c := z^(1/4)

Ebből következően:

a^3 = (x^(1/4)) ^ 3 = x^(3/4)

Valamint

a^4 = (x^(1/4)) ^ 4 = x

Tehát az eredeti egyenlet behelyettesítve:

a^3+b^3+c^3 > (a^4+b^4+c^4)^(3/4)

Emeljük a negyedik hatványra mindkét oldalt:

(a^3+b^3+c^3)^4 > (a^4+b^4+c^4)^3

Na ez már pofásabb, valahogy szimmetrikusabban néz ki a dolog. Ha ezt bizonyítjuk a,b,c∈ℝ⁺ esetre, akkor kész is vagyunk. De kifejtéssel szerintem nem sokra mennénk. Nincs erre valamiféle tétel? Itt elakadtam a magam részéről.