Miért szétválasztható változójú?

egy általános függvény valahogy így néz ki, nem?

y=valami, amiben x szerepel, mint egyetlen változó

szóval lényegében egy változó van, csak maga a függvény y-ként van kezelve az egyenletben, és gyakorlatilag ezt a függvényt keressük a diff.egyenlet megoldásával, nem?

üdv

28/F

LastOne.Left

Nem, természetes vannak más típusú differenciálegyenletek is, ez egy speciális típus. Valóban, megoldásként egy függvényt (vagy függvényeket) keresünk, azaz y=y(x); itt x a függvény változóját jelöli.

E speciális differenciálegyenlet másik neve szeparálható differenciálegyenlet, azaz az x-es és az y-os tagok rendezhetőek az egyenlet két oldára:

1. Formálisan y'(x)=dy/dx helyettesítés

2. A megoldás menete (rendezés után) az, hogy mindkét oldalon saját változója szerinti integrálás

3. Az integrációs konstanst csak az x-es oldalra szokás írni (összevontan az y-os oldalról jövő konstanssal)

4. Ha nem túl bonyolult, akkor ebből az ún. implicit alakból illik kifejezni az explicit alakot is.

Ha jól tudom, akkor van közönséges diff. egyenlet, és parciális. A parciálisban van több változó, a közönségesben meg ahogy írod, ugye 1.

Mint függvényeknél. Egyváltozós, többváltozós.

üdv

28/F

LastOne.Left

Némi gyakorlat, feladatmegoldási rutin természetesen kell az ilyen típusú differenciálegyenletek felismeréséhez (itt megjegyzem, hogy y'=f(x)/g(y) formára is működik a dolog), de ezután a megoldás szinte mechanikus (fent már leírtam). Talán egy konkrét példán keresztül tisztább lesz a kép. Legyen a feladat a következő:

(ctg y)*y'=(cos x).

Ha ezt rendezzük y'-re, akkor azt kapjuk, hogy:

y'=(cos x)/(ctg y).

Ez pedig éppen a fenti általános formulának felel meg, tehát az egyenlet szeparálható. A fenti lépéseket kell innen használni:

dy/dx=(cos x)/(ctg y) -> formális helyettesítés

(ctg y)*dy=(cos x)*dx -> szétválasztás, rendezés, majd integrálás saját változó szerint

Lévén ctg y=cos y/sin y, ezért ez f'/f típusú integrandus, a másik oldal alapintegrál:

ln|sin y|=(sin x)+C -> csak az egyik oldalon van konstans, implicit alak

y_á=arcsin[e^(sin x+C)] -> explicit alakú általános megoldás :)