Hány futót lehet elhelyezni úgy a sakktáblán, hogy egyik se üsse a másikat? És hányféleképpen helyezhető el ez a maximális számú futó a sakktáblán úgy, hogy ne álljanak ütésben?

Elsőként azt kell észrevenni, hogy a sötét és a világos mezőkre helyezett figurák soha nem tudják egymást ütni. Tehát első körben elég megnézni, hogy hány futó helyezhető el a sötét mezőkön úgy, hogy egyik sem üti a másikat.

A sakktáblán hét átlóba lehet rendezni a sötét mezőket. Nyolcadik futó nem helyezhető el, hiszen az egy olyan mezőre kerülne, amely már egy kihasznált átlón található.

A kérdés az, hogy találunk-e olyan elrendezést, amely esetén mint a 7 átlón állnak futók, mégsem ütik egymást. Van ilyen. Pl.: A1, C1, E1, G1, B8, D8, E8.

Így mindegyik átlón egy futó áll és mindegyik átlón áll futó. További futó lehelyezése nem lehetséges.

Ugyanez igaz a világos mezőkre is, tehát itt is maximálisan 7 futó helyezhető fel.

Összesen tehát 14 futó helyezhető fel.

Hogy hányféleképpen helyezhetőek fel, az már kicsit nehezebb kérdés nekem így estefele, de elgondolkodom rajta.

Meg is van! Megint csak a sötét mezőkből kell kiindulni. Az a7-b8-as átló két mezője közül valamelyiken kell lennie futónak, különben ez az átló nem lenne kihasználva. Ugyanez igaz a vele átellenes sarokra is, a g1-h2 átló valamelyikén kell lennie egy futónak. Ha az a7-re teszek egy futót, akkor az üti a g1-et, így azon az átlón csak a h2-re tehetek futót. Ha b8-ra teszek egyet, akkor az üti a h2-t, így g1-re kell tennem. Ez két lehetséges állás.

Viszont akármelyiket is választom a kettő közül, az a7-g1 és a b8-h2 átló is foglalt lesz. Most nézzük akkor az a5-d8 illetve az e1-h4 átlót. A középső mezők kilőve, így mindegyiknél két mező szabad csak. Hasonlóan az előzőekhez ha az egyik átló egyik mezőjére teszek egy futót (pl a5-re), akkor a másik átlón egyetlen szabad mező marad csak (h4).

Az a3-f8 és c3-h6 átlóknál is ez a helyzet.

Az utolsó – a1-h8 átlón álló – futónak aztán a végén szintén csak két szabad mező marad, vagy a1-re teheted, vagy h8-ra.

Összesen tehát 2*2*2*2 = 16 különböző módon lehet feltenni a sötét futókat.

A világosokat is 2*2*2*2 = 16 különböző módon lehet feltenni.

Ezek egymástól függetlenek, tehát bármelyik sötét mezős elhelyezéshez bármelyik világos mezős elhelyezést lehet társítani. Így összesen 16*16 = 256 különböző állás van.

2008-as közép-európai matekolimpiai feladat.

[link]