Hogyan kell megoldani ezt a fizika feladatot?

Az egy nagyon jó kérdés, hogy mi ott az a 3-as indexű r… Valószínűleg valami nyomdahiba lesz.

Válasszuk az origót a kör középpontjában. Tudjuk, hogy a teljes körlemez tömegközéppontjának helyvektora a c = 0. Legyen a lyukas körlemez tömegközéppontjának helyvektora a, a kivágott háromszöglemez tömegközéppontjának helyvektora pedig b. A lyukas körlemez tömege legyen M, a kivágott háromszöglemezé m. Ha összerakjuk újból a teljes kört ebből a két lemezből, akkor a rendszer tömegközéppontjának helyvektora az

(M*a + m*b)/(M + m) = 0

vektor lesz.

Ebből a = -m*b/M.

(A teljes körlemez területét M' = m + M-mel jelölve az a vektor

a = (M'*c - m*b)/(M' - m),

erre céloztam előbb a negatív sűrűséggel, de mindegy; azt a módszert most megkerültük.)

A teljes rendszer szimmetrikus az x-tengelyre, így ay = az = 0, csak az x-komponenseket kell kiszámolnunk.

A háromszög tömegközéppontja (mivel a lemez homogén) a súlyvonal oldalhoz közelebb eső harmadoló pontjánál van, ami egyenlő oldalú háromszög esetén a magasságvonal oldalhoz közelebbi harmadoló pontjával egyezik. Ennek x-koordinátája:

bx = 2/3*(gyök(3)/2)*r = r*gyök(3)/3.

Ha t a háromszög területe, akkor

m = ρ*t = ρ*gyök(3)*r^2/4.

M = M' - m = ρ*π*R^2 - ρ*gyök(3)*r^2/4.

Ezeket helyettesítve

ax = -m*bx/M = -ρ*gyök(3)*r^2/4*r*gyök(3)/3/(ρ*π*R^2 - ρ*gyök(3)*r^2/4) = -r^3/4/(π*R^2 - gyök(3)/4*r^2) = r^3/(gyök(3)*r^2 - 4*πR^2).

Akkor a 3-as az alsó indexben az nyomdahiba, és a felsőben akar lenni, másrészt a súlypont természetesen a kivágott háromszöggel ellentétes oldalra kerül (ezt fejezi ki az én megoldásomban a negatív előjel.)