Van egy nagy aszteroida a Föld középpontjától átmérőnyire, 0 relatív sebességgel. Mekkora sebességgel, mennyi idő múlva fog becsapódni?

Az sem biztos, hogy be fog csapódni. A Föld kering a Nap körül és miközben az aszteroida szabadesésben zuhan a Földbe, a Föld kicsúszik alóla, így az aszteroida Föld körüli pályára áll. Ráadásul az aszteroidára ható "g" gyorsulás sem állandó, a távolság csökkenésével növekszik.

De ha eltekintünk ezektől és a "g"-t állandónak vesszük felírható, hogy s=(g*t^2)/2, ebből t=gyök(2*s/g), ahol "s" a Föld átmérője méterben, g=9,81 méter/szekundum-négyzet, így megkapod az időt másodpercben.

Az energiamegmaradás tételével kell megoldani. Az egymástól r távolságban lévő tömegpontok gravitációs helyzeti energiája E = -gamma*M*m/r. A gamma a gravitációs állandó (6.67 x 10^-11). Ugyanez igaz gömbökre is, úgy, hogy a gömbök teljes tömegét a tömegközéppontba kell képzelni.

Tehát előbb ki kell számolni, mennyivel változik a test potenciális energiája, amíg 2R távolságból R távolságba kerül (itt most R a Föld sugara). Ez a különbség egyenlő lesz a mozgási energiájának a megnövekedésével (mv^2/2). Innen a v már könnyen kifejezhető.

A sebesség időfüggése tehát ilyen:

v² = γM/R · x/(2R-x)

M a Föld tömege, R a sugara, x az aszteroida által megtett út: 0 induláskor, R lesz az ütközéskor.

Az idő kiszámítása integrálással tud menni:

v = dx/dt = √(γM/R) · √(x/(2R-x))

√((2R-x)/x) · dx = √(γM/R) · dt

∫ √((2R-x)/x) dx = ∫ √(γM/R) dt = √(γM/R)·∫ 1 dt

A bal oldali integrál x=0-tól R-ig megy, a jobb oldali meg 0-tól T-ig, ahol T a becsapódás ideje.

∫ √((2R-x)/x) dx = √(γM/R) · T

A bal oldal nem könnyű, itt levezettem:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

A különbség annyi, hogy most csak R-ig kell integrálni, ott meg úgy csináltam, mintha itt 2R-ig menne. Az ottani D az itt 2R. Az u szerinti integrálás meg ∞-től 1-ig megy.

Szóval most a bal oldal eredménye 2R·((1/2 - arctg 1) - (1/∞ - arctg ∞)) = R(1 + π/2)

Ha nem akarod kibogozni az integrálást:

[link]

Az idő ennek √(γM/R)-ed része (√(γM/R) egyébként a végsebesség).