Cauchy-sorozatnál ez hogy van?

Az x sorozat konvergens, ha létezik olyan y eleme a térnek, hogy bármely e esetén létezik olyan N, hogy bármely n>=N-re d(x(n),y)<e. A Cauchy-sorozat definíciójában nem szerepel ilyen y elem. Nyilván minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.

A jelentősége abban áll a tér teljességének, hogy egy sorozat konvergens mivoltának bebizonyításához nem kell "megtippelnünk" a határértékét, elég bebizonyítanunk, hogy Cauchy-sorozat és ebből következőleg konvergens.

Különben jó, hogy elgondolkodtál ezen, mert ennek a két fogalomnak a megértése elengedhetetlen az analízis megértéséhez.

Röviden, mások az axiómái, a norma egyébként is egyváltozós függvény, a metrika pedig kettő.

A kapcsolatot az teremti meg köztük, (ha van vektortér struktúra is az alaphalmazon, például V vektortér R felett) hogy normából származik metrika, így minden normált tér metrikus tér is.

Ha ||:V->R, akkor a d: VxV->R d(a,b)=|a-b| függvény metrika.

Ebben az esetben (is) a dolog megértéséhez érdemes tekinteni a legtriviálisabb példát:

Ha V=R, akkor az általánosan használt norma az abszolútérték függvény, míg az ebből származó metrika,

|a-b|, vagyis a két szám különbségének abszolútértéke, ahogy a középiskolában is használják.

Hasonló módon az R^2 számsíkon az a=(a(1),a(2)) és b=(b(1),b(2)) vektorok esetén:

|a|=sqrt(a(1)^2+a(2)^2), és az ebből származó metrikával:

d(a,b)=sqrt((a(1)-b(1))^2+(a(2)-b(2))^2).

Általában metrika és norma is sokféleképpen megadható egy halmazon. (Valójában végtelen sokféleképpen.)

Az analízisben fontos szerepet játszanak a különböző függvényterek (olyan például R feletti vektorterek, melynek pontjai valamilyen tulajdonságú függvények), ezek esetén például bizonyos esetekben integrállal definiálható norma, és így metrika is.