Mikor nagyobb az F erő?

Mondjuk legyen L=1m hosszú a gumikötél, D=100 N/m rugóállandóval.

Mondjuk húzzuk ki vízszintesen fél méterrel. Ehhez F₁ = 50 N erő kell.

A kötél felének a rugóállandója megduplázódik, 200 N/m lesz. Ha a kötél közepét húzzuk ki merőlegesen lefelé ugyancsak fél méterrel, akkor 45°-ban térül el a vízszintestől. Mindkét félkötél hossza L₂ = 0,5·√2 m lesz.

Vagyis ΔL₂ = (√2 − 1)·0,5 méterrel nyúlnak meg a félkötelek, mindkét erő F₂ = 200·(√2-1)·0,5 N lesz.

Ennek a két F₂ erőnek a vízszintes komponensei kiejtik egymást, a függőleges komponensek összeadódnak. A egyik függőleges komponens F₂/√2, ezért a húzóerő:

F₃ = 2·F₂/√2 = √2·F₂ = √2·200·(√2-1)·0,5 N = 58,58 N

Hát bizony ez az F₃ a nagyobb, nem pedig a hosszában húzott F₁.

--

Viszont kijöhet ez az arány máshogy is. Nézzük általánosan, hogyan függ az erő a megnyújtás nagyságától:

Ha x hosszal nyújtjuk meg, illetve x-szel húzzuk ki a közepét, akkor ezek jönnek ki:

F₁ = D·x

L₂ = √(x² + (L/2)²)

ΔL₂ = L₂ - L/2

F₂ = 2D·ΔL₂

Ennek függőleges komponense F₂·x/L₂

F₃ = 2·F₂·x/L₂ = 4D·ΔL₂·x/L₂ = 4D·x·(L₂ - L/2)/L₂ = Dx(4 - 2L/√(x² +L²/4) )

Ha x kicsi, akkor 2L/√(x²+L²/4) ≈ 4 - 8x²/L², ezért F₃ ≈ D·x·(8x²/L²) ami nagyon pici

Ha x nagyon nagy, akkor 2L/√(x²+L²/4) ≈ 2L/x ≈ 0, ezért F₃ ≈ 4·D·x

Ha megoldjuk a 4 - 2L/√(x² +L²/4) = 1 egyenletet, ez lesz:

x = √7/6·L ≈ 0,44·L

Vagyis a kötél hosszának 44% alatti x-ekre kisebb az erő merőlegesen húzva, a fölött meg nagyobb.

Kis x-ekre két okból is sokkal kisebb a merőleges kihúzás ereje:

- egyrészt kis szögeknél az erő függőleges komponense nagyon kicsi.

- másrészt elég sokáig ki lehet húzni középen úgy, hogy a kötél hossza alig nő, így a rugóerő eleve kicsi.

44%-nál jobban kihúzva viszont már a dupla rugóállandó is hatásos, illetve a két kötéldarab kezd párhuzamos lenni, vagyis duplázódik az eredő erő, így a négyszereshez kezd tartani.