Hogyan tudom ezt megoldani? Félkörbe téglalapot írunk úgy, hogy a téglalap két csúcsa a félkörre, másik két csúcsa a félkör átmérőjére esik. A téglalapok közül melyiknek lesz a legnagyobb a területe?

A gondolkozáshoz segítségül egy dinamikus ábra:

file:///C:/Users/szs/Documents/GyakoriK%C3%A9rd%C3%A9sek/5873038.html

A megoldáshoz tudni kellene, hogy mit tudsz? Koordináta-geometria és differenciálszámítás mehet? (Vagy csak egyszerűbb függvény-vizsgálat?)

Bocs! A link helyesen:

[link]

Szerintem egy ilyen feladatnál már szabad deriválni, egyszerűbb függvényvizsgálattal legalábbis nekem nincs sok ötletem. Persze egy jó spec matos versenyző lehet, hogy ki tudja magyarázni anélkül…

Vegyük fel a félkört úgy, hogy az átmérője az x-tengelyre illeszkedjen, középpontja az origó legyen, és a sugara r. Ekkor az egyenlete y = gyök(r^2 - x^2).

Ha a téglalap egyik csúcsa az (a, 0) pontban van, akkor a másiknak muszáj a (-a, 0) pontban lennie, a maradék két csúcs meg a félkörre illeszkedik, ebből adódik az ő y-koordinátájuk y = gyök(r^2 - a^2)-nek. A téglalap átmérőre illeszkedő oldala tehát 2*a hosszúságú, a másik pedig gyök(r^2 - a^2) hosszúságú, így a területe a-val kifejezve

2*a*gyök(r^2 - a^2).

Ennek keressük a szélsőértékét, ami csak a derivált zérushelyén lehet, tehát deriváljuk, és keressük azt az a-t, amire a derivált 0:

2*gyök(r^2 - a^2) - 2*a^2/gyök(r^2 - a^2) = 2*(r^2 - 2*a^2)/gyök(r^2-a^2) = 0,

Egy tört akkor 0, ha a számlálója 0, tehát a = r/gyök(2) esetén lehet a téglalap területének maximuma.

Ez valóban jó megoldás, de ennek bizonyítását már rátok bízom.

#1 (#2) vagyok.

Megpróbáltam leírni a megoldást úgy, hogy egy "jobb" kilencedikes megértse:

[link]

Igen, ez szép…

(((Annyi megjegyzés, hogy a „negatív rész nulla” hülyén hangzik, inkább a „négyzetre emelt tag”-ot írnék helyette.)))

Képzeld el, hogy nem fékörről, hanem egy körről van szó. Ebben az esetben egy négyzetnek lesz a legnagyobb területe, amelyiknek a csúcsai a körön fekszenek. Most ha ezt elfelezed, akkor megkapot a félkörös esetet.

A négyzet oldala legyen „a“. A Pitagorász tétel alapján: a² + a² = d² = (2r)²

A téglalap hosszabbik oldala 2a lesz.

Megjegyzem, a #8 válasz is jó.