A ds/dt egészen pontosan mit takar?

Már ezer éve ( 3 hónapja :D) voltam gimis, de elmondom amit tudok. Nem magyar suliba jártam, ezért lehet hogy rossz kifejezéseket használok:

Integrálásról van szó. Ez egyrészt a deriválás ellentétje, másrészt azért hasznos, hogy egy függvény alatt (vagy fölött) lévő területet úgy számoljuk ki elméletben, hogy sok, minél kisebb téglatestet alkotunk, és minél több a téglatest (aminek a területét kiszámoljuk), annál pontosabbb értéket kapunk. Ezt így kell elképzelni:

[link]

Ezzel a gyönyörű képlet egy általános meghatározás a sok-sok téglalap összeadására:

[link]

Ugye mit látunk?

-Az "E"-re hasnlító jel "szummát" jelent, tehát sok érték összeadása.

-"f" maga a függvény, melynek minden téglalapnál az adott ponton lévő értékét vizsgáljuk. Pl. f(x) = x + 2 esetén ha x = 1, akkor f(x) = y = 3. Tehát ez a téglatest y-tengellyel párhuzamos oldala.

-a "delta x(i)" pedig a téglatest x-tengelyen lévő oldala, tehát hogy mekkora téglatesteket veszünk. A delta az a különbségnek a jele mindig, tehát hogy mekkora a vizsgált függvénypontok közötti különbség. A a két értéket összeszorozzuk, akkor megkapjuk az egyes téglatestek területét (ugye TERÜLET = a x b :D).

-az egyenlet jobb oldalán pedig látjuk részletenként, minden egyes téglatest területét kiszámolva, míg a baloldalon egy a szumma jellen összesítve van.

Na most... iskolában úgy tanultuk, hogy a kor tudósai közt (nem akarok butaságot mondani, hogy kikről van szó) nagy vita volt a jelrendszerek között. Amit manapság használnak, a nyújtott S-re hasonlító jel egy másik jelölés, és itt a "delta x"-et a "dx" helyettesíti. Ez végtelen számú, végtelenül keskeny téglatestek összeadását jelenti, így pontos értéket kapunk.

Itt egy egyenlet, ami elmagyarázza :

[link]

"nyújtott S" = "végtelen számú téglatest, mivel E előtt áll a limes végtelen"

az (x(i) - x(i-1) pedig = DELTA x, mivel a két x-érték közti különbségről van szó.

Na most, mivel te a sebességre kérdeztél rá, íme egy újabb ábra, egy v- t- diagramma:

[link]

v = DELTA s / DELTA t,

tehát DELTA s = v x DELTA t,

v az y-tengellyel párhuzamos, t pedig az x-tengelyen helyezkedik el.

Tehát mit teszünk, ha mondjuk a megtett utat (s) akarjuk kiszámolni?

Végtelen kis időközöket veszünk, és mindig megszorozzuk az adott időpontban lévő sebességnél (tehát ezt a diagrammát is felosztjuk nagoyn keskeny téglatestekre).

Ami érdekes az az, hogyha a GYORSULÁST integrájuk idő szerint (dt), akkor a SEBESSÉG jön ki, ha a SEBESSÉGET integráljuk idő szerint, akkor a MEGTETT ÚT (s) jön ki. UGYANEZ FORDÍTVA IS IGAZ DERIVÁLÁSSAL. Tehát deriválva t szerint s = v, deriválva t szerint v = a.

Ilyen egyszerű a dolog... Biztosan van rész ami nem világos, kérdezz vissza bátran :)

A "d" a végtelenül kicsiny (infinitézimális) megváltozást jelöli.

Az út és az idő differenciál hányadosa egy határérték: az út és az idő megváltozásának hányadosa, amikor az idő megváltozása (és az úté is) tart a nullához.

v = lim(Δt-->0) Δs / Δt = ds / dt