Függvényvizsgálatnál az első derivált adja a szélsőértéket, a második az inflexiós pontot, de mit ad meg az, ahol a harmadik derivált értéke 0?

Ez így NAGYON pontatlan volt.

Ha a függvény deriválható és az első derivált előjelt vált, ott van lokális szélsőértéke.

Érdekesség: kapásból visszafele sem igaz. Még ha a függvény deriválható, sőt a derivált folytonos egy X0-ban és az X0-ban szélsőértéke van, még ebből sem következik, hogy az első derivált előjelt vált az X0-ban! :D

Két érdekes tétel. Hogy válaszoljak is! :D

Ha az X0-ban az első nullától különböző differenciálhányados páros rendű, akkor a függvénynek szélsőértéke van X0-ban, mégpedig ha a kérdéses differenciálhányados pozitív, akkor minimuma, ha negatív, akkor maximuma van. Ha az első nullától különböző differenciálhányados páratlan rendű és e rendszám nagyobb egynél, akkor ha ez a differenciálhányados pozitív, a függvény X0 valamely környezetében növekvő, ha negatív, akkor csökkenő.

Ha az f(x) első "i" deriváltja nulla az X0-ban és i páros. És az i+1 -dik deriváltja (páratlan) nem zéró az X0-ban, akkor f(x)-nek inflexiós pontja van az X0-ban.