Hogyan tudjuk bebizonyítani, hogy 10 osztója 11^8-1 -nek?

11 az akárhanyadikon 1-re végződik.

Abból levonva egyet pedig 0-ra. Akkor pedig biztosan osztható 10-zel.

Amúgy 11^8 nem is nagy szám, szóval simán kiszámolhatod.

11^8=214358881

11^8-1=214358880 ami ugye osztható.

De az első válaszban írt megoldás szebb, mert az bármilyen nagy hatványnál működik.

Akkor nyilván nem.

Mert ha úgy van, hogy 11^(8-1), az ugye 11^7, ami 1-re végződik, tehát biztosan nem osztható 10-zel.

Akár ki is lehetne mutatni egy általánosabb esetre:

én azt állítom, hogy

X mindig osztója (x+1)^y-1

-nek.

Miért is?

Azért, mert egy szorzatot úgy kapsz, hogy a tagjait összeszorzod egymással.

Tehát vegyünk egy ilyen szorzatot, hogy

(x+1)(x+1)(x+1)...(x+1)

Na most figyelj:

mindig olyan szorzataink lesznek, amiben vagy X-szel szoroztunk, vagy 1-gyel.

Ez azt jelenti, hogy az eredmény minden tagja egyenként osztható lesz X-szel, kivéve a legutolsót, ami csak 1 önmagával szorozva.

Következésképpen mivel (x+1)^y -nél minden tag osztható x-szel, kivéve az utolsót, ami mindig 1, ezért (x+1)^y-1 mindig osztható x-szel.

pl.

(x+1)^2=(x+1)(x+1)=x^2 + 2x + 1

(x+1)^3=(x+1)(x+1)(x+1)=x^3 + 3x^2 + 3x + 1

-> ránézésre belátható, hogy minden 1 előtti tagjuk osztható X-szel, és az utolsó mindig 1.

Okos vagyok vagy okos vagyok? :D

A mértani sorozat összegképletéből:

1+a+a^2+...+a^(n-1)=(a^n-1)/(a-1)

=> a^n-1=(a-1)(1+a+...+a^(n-1))

speciálisan a=11, n=8 esetén:

11^8-1=(11-1)*(1+11+...+11^7)

"Amúgy 11^8 nem is nagy szám, szóval simán kiszámolhatod.

11^8=214358881

11^8-1=214358880 ami ugye osztható. "

Milyen elegáns.