Hogyan lehet másod-vagy magasabb fokú aszimptotákat meghatározni?

Nem egészen világos, milyen függvénynek akarod az asszimptótáját, de szerintem úgy kell, hogy megnézed a függvény végtelenben felvett határértékét. Vagyis megnézed, hogy a végtelenhez közelítve mely tagok válnak elhanyagolhatóvá.

Pl. y = (x^3-3x+1)/(x-2) --> x^2-3

Vagyis ez egy parabolához tart.

Elkezded polinomosztani, akkor azt kapod hogy:

p(x)+q/(x-2), ahol p(x) polinom, q pedig konstans.

A p(x) polinom, az amit te keresel, az a végtelenben ugyanoda tart, ahova az eredeti törtfüggvény, ugyanis ha a q/(x-2)-nél x helyébe végtelent írsz, akkor az zérusba tart, vagyis nincs hatással akkor, ha elég nagy x-eket vizsgálunk.

De a p(x)-et nem nevezzük asszimptotának.

A p(x) törtfüggvényről-ről (általában, de van kivétel) a következő megállapításokat tehetjük:

1. Az eredeti függvény és p(x) határértéke a végtelenben ugyanaz.

2. Az eredeti függvényt p(x) elég nagy x-ek esetén jól közelíti. (De kis x-ekre nem!).

3. p(x)-et az eredeti függvény Laurent-polinomjának nevezzük. Igazából ez az, amiért nem foglalkoztok vele, mert a Laurent sorok elmélete elég magas matematikai előképzettséget igényelne, mint pl. a komplex függvények alapos ismeretét.