Mit jelent egy vektor deriváltja?

Ha nem helykoordináták szerint deriválod, akkor egyszerűen a komponenseinek a deriváltjaiból alkotott vektort.

Ha helykoodináták szerint deriválod, akkor sajnos sokkal bonyolultabb a helyzet, ott többféle deriváltfogalom is van.

Mi a konkrét feladatod?

Egy szám deriváltja nem létezik. Amire te gondolsz, az egy olyan (konstans) függvény, ami minden értékhez ugyanazt a számot rendeli hozzá. Ez nem egy szám, hanem sokszor egymás után ugyanaz a szám.

Egy példa a vektor deriváltjára:

Ha a pozíciód jelenleg (0,0), majd lépsz egyet keletre és hármat északra, akkor az új pozíciód (1,3) lesz. Ha ezt az utat két egységnyi idő alatt tetted meg, akkor a kelet irányú sebességed 1/2, az észak irányú sebességed 3/2 volt. A sebességvektor így (1/2,3/2) lesz.

Ezt (pontosabban ennek határesetét) jelenti a "komponensenkénti derivált". Az (1,3) helyvektorból úgy számolsz sebességet, hogy külön-külön az 1-et is és a 3-at is elosztod az idővel, majd újra egy vektorba teszed az eredményt.

> „Egy példa a vektor deriváltjára:”

Akkor már vektorfüggvény… (Az előbb beszéltük meg.) Másrészt a példád az még nem a deriválás, csak a differenciálás (mert csak folytonos esetben tudunk deriválni).

Egy rendes példa, hogy ne csak a levegőbe beszéljek:

Mondjuk egy elhajított test helyvektora az idő függvényében

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (A*t + x0, B*t + y0, C*t – 1/2*g*t^2 + z0).

Ennek az idő szerinti teljes deriváltjának definíciója ugye

v(t) = lim((r(t + τ) – r(t))/τ, τ –> 0).

A különbség képzés most Descartes-i koordinátákban csak annyit jelent, hogy tagonként ki kell vonni egymásból az r(t + τ) és r(t) vektorokat, tehát a v(t) vektorfüggvény komponensei egyszerűen az r(t) komponenseinek deriváltjaiból tevődnek össze. Ha nem Descartes-i rendszerben lennénk, akkor bonyolultabb dolgok is közbejöhetnének. De így a v(t) az nem lesz más, mint

v(t) = d r(t)/dt = d(A*t + x0, B*t + y0, C*t – 1/2*g*t^2 + z0)/dt = (d(A*t + x0)/dt, d(B*t + y0)/dt, d(C*t – 1/2*g*t^2 + z0)/dt) = (A, B, C – g*t).