Matematikában ha az alapfogalmakat nem magyarázzák akkor hogyan fogalmazzák meg hogy mik azok?

"Intuitíve" elfogadjuk; például:

- U

A két jelből el tudod dönteni, hogy melyik a szakasz? Igen. Tudod definiálni? Nem.

Egyszerűen annyi, hogy megmutatjuk egy másik embernek, hogy mi az a szakasz, meg azt is, hogy mi nem, és így "intuitíve" már fogja tudni.

Már bocsánat, de pontosítok.

A halmazfogalmat nem fogadjuk el. Definiáljuk. Mégpedig úgy, hogy előbb eljutunk az elemeinek megismeréséhez (definícióval, levezetéssel, stb.), majd felsoroljuk az elemeit és azok egymáshoz való viszonyát, megadjuk, milyen tevékenységek végezhetők ott. Például az egész számok halmaza az egész számokból (ezt előtte megmagyarázzuk) áll, minden egész szám beletartozik, de semmi más. Itt lehetséges minden olyan számművelet (ezt már korábban tárgyaljuk), amelynek eredménye a halmaz eleme (egész szám). Ezután vizsgáljuk ezt a halmazt, és számtalan más tulajdonságát is leírjuk. Például azt, hogy végtelen sok eleme van.

A szakaszt valóban definiáljuk: a szakasz az egyenes egy véges, összefüggő részhalmaza. Ezután itt is egy csomó tulajdonságot állapítunk meg. De előtte értelmezzük a "véges" és "összefüggő" fogalmakat.

Ha szisztematikusan végig akarunk menni az egészen, rájövünk, hogy az bizony nem könnyű. Mégpedig azért nem, mert lépten nyomon olyan megmagyarázandó dolgokba botlunk, amit már nyilvánvalónak érzünk a sok használat miatt, pedig nem azok (a kezdő számára). A matematika tanításában nem a matematika nehéz, hanem hogy felismerjük: aki tanulja, annak minden lehet megmagyarázandó, ha ezt előzőleg nem tettük. És egy logikus, érthető sorrendet felállítani egyáltalán nem könnyű. És az oktatás lezüllöttsége éppen ezen keresztül mutatkozik meg leginkább. Meg az is, mitől olyan nehéz felszámolni egy rossz rendszert.

"De előtte értelmezzük a "véges" és "összefüggő" fogalmakat." - sok szerencsét...

A tudományban nincsenek tökéletes, csak elégséges definíciók/bizonyítások/bármik. És hogy mi elégséges, az szubjektív. Az emberi ideák meg egy körkörös tautológia-rendszer elemei. Nem létezik "bizonyosság", csak pillanatnyi megértés.