Hogyan kell meghatározni egy harmadfokú egyenlet összes racionális gyökét?

Hát… Pont nem Horner-elrendezés.

Az a lényeg, hogy az egyenletet 0-ra rendezzük, azaz

A*x^3 + B*x^2 + C*x + D = 0

alakban írjuk (tehát nem úgy, hogy a' + x*(b' + x*(c' + x)) = 0, mint Horner), remélhetőleg A, B, C és D racionális számok lesznek, és akkor szorzunk a nevezőjük legkisebb közös többszörösével. Ha már egészek, akkor osztunk a legnagyobb közös osztójukkal, és kapjuk az

a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = 0

egyenletet.

Ha d = 0, akkor az x = 0 racionális gyök, és a másik két gyök az a*x^2 + b*x + c = 0 másodfokú egyenlet megoldásából kijön.

Aztán mivel az x racionális, ezért p/q alakban keressük, ahol p és q is egész számok, és LNKO(p, q) = 1. Ezt helyettesítve és q^3-bel szorozva az egyenlet az lesz, hogy

a*p^3 + b*p^2*q + c*p*q^2 + d*q^3 = 0.

Na most az első három tagból p-t kiemelve

p*(a*p^2 + b*p*q + c*q^2) = –d*q^3,

ebből, mivel LNKO(p, q) = 1, következik, hogy p osztója d-nek (FIGYELEM, lehet negatív osztó is).

Hasonlóan – az utolsó három tagból q-t kiemelve –, belátható, hogy q pedig osztója a-nak.

a-nak és d-nek pedig véges sok osztója van, ezeket az osztópárokat végigpróbálgatva megkapjuk a racionális gyököket.

Első válaszoló vagyok.

Nyílván jó az a megoldás is, amit írtatok, de azt ne mondjátok már, hogy Horner-elrendezéssel nem lehet megoldani.

Többféle megoldási lehetőség van, ezt kell szem előtt tartani.

Persze minden lehetőségnek vannak korlátai.

Első körben azért érdemes a Horner-elrendezéssel próbálkozni, mert ha működik, akkor viszonylag hamar jutunk eredményre.

Ellenben pl. aki már egyszer is végigszámolt mondjuk egy Cardano-formulát, vagy a #3 válaszoló gondolatmenetét konkrét példán végigszámolta, az pontosan tudja, hogy az gyakorlatilag egy borzasztó hosszú, unalmas számolás.