Hogyan bizonyítható teljes indukcióvl a 11|12^n -1. állítás bármely természetes n számra?

Megnézzük, hogy n=0-ra mi a helyzet:

12^0-1=1-1=0, 11|0 igaz.

Tegyük fel, hogy az állítás n-ig igaz, nézzük meg, hogy n+1 esetén mi a helyzet:

12^(n+1)-1=12^n*12-1=11*12^n+(12^n-1)

A zárójeles tag az indukciós feltevés miatt osztható 11-gyel, a 11*12^n pedig a 11-es szorzó miatt osztható 11-gyel, ezek összege is osztható 11-gyel, tehát 12^(n+1)-1 osztható 11-gyel. Ez tetszőleges n-re igaz, tehát a feltevés igaz.

Az állítás másképpen: 12^n - 1 = 11*m ahol n és m természetes számok.

Tehát 12^n = 11*m + 1. Ez n=1-re nyilvánvaló, tehát már csak az indukciós lépés kell, azaz be kell látnunk, hogy a fenti egyenlőség esetén 12^(n+1) - 1 = 11*k igaz, ahol k is természetes szám.

Hát akkor hajrá:

12^(n+1) - 1 = 12*12^n - 1 = 12*(11*m+1) - 1 = 12*11*m + 11 = 11*(12*m + 1) = 11*k, hiszen 12*m + 1 szintén természetes szám. Így kész is vagyunk.