V-t diagram értelmezése?

Legyen valamely egyenesvonalú pályán mozgó anyagi pont elmozdulásának időfüggvénye s(t). Tekintsünk valamely t1 és t2 időpillanatok közötti részt. Ekkor az (t1,s(t1)) és (t2, s(t2)) pontokat összekötő szakasz meredeksége

m=[s(t2)-s(t1)]/(t2-t1).

Ha pl. s=v*t, ahol v konst, akkor nyílván m=v. Általános s(t) fv. esetén ezt a szerepet a derivált veszi át, a következőképp. Legyen ugyanis t1 és t2 egymáshoz igen közel, azaz a delta(t)=t2-t1 legyen elég kicsiny.

Ezt úgy mondjuk, hogy legyen differenciálisan kicsiny, azaz t1=/=t2, de mégis igen közel vannak egymáshoz.

Úgy mondjuk, hogy t2 tart t1-hez: t2->t1.

Ez ekvivalens azzal, hogy delta(t)->0.

Ezért a meredekség delta(t)->0 esetén az s(t) érintőjébe megy át, és ezt határértékszámítás útján nyerjük, ami a sebesség is egyben:

v=lim[(s2-s1)/(delta(t))], ha delta(t)->0, és felhasználtuk itt az s(t2)=s2, ill. az s(t1)=s1 egyszerűsített jelöléseket.

Matematikailag ezt nevezzük deriváltnak, és egyszerűsítette jelölésmóddal:

v=ds/dt.

Vagy mégegyszerűbben v=s'. Gyakran vessző helyett s fölé tesznek egy pontot, időszerinti deriváltnál, azaz:

s pont=v.

Ez egy elsőrendű differenciálegyenlet. Rögtön látod, ha az s(t) grafikont eltolod föl-le, attól még a derivált ugyanaz lehet.

Ezért meg kell adni, hogy adott t0 helyen s(t0) mennyi. Ezt úgy hívják hogy kezdeti feltétel.

A diffegyenlet tehát:

s'=v, az s(t0)=s0 kezdeti felt. mellett.

Igazolható, ha bizonyos feltételek teljesülnek (pl. második változóban Lipschitzesség) akkor a feladat korrekt kitűzésű. De most ne menjünk bele az egzisztencia- és unicitáskérdésekbe.

Ebből a diffegyenletből s(t) integrálással határozható meg, ha v nem függ s-től, hanem csak t-től. Az ekvivalens integrálegyenlet alapján egyszerűen adódik hogy:

s(t)=s0+Integrál[v(tau)dtau] t0-tól t-ig.

Igazolható, hogy ez kielégíti az eredeti kezdetiérték feladatot.

Namost az integrál jelentése meg épp a grafikon alatti terület. Tehát ebből jön ki.

Ha valamit nem értesz, megnézed a Bólyai könyveket:

Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás, Integrálszámítás,

Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek

és az Obádovics féle Felsőbb matematikát.

Ahhoz hogy ezt értsd, matek kell!