Miért M/r^3-bel arányos az árapály erő?

Vagyis, - hogy egy gyerek is megértse, - nem a gravitációs erőről van szó, hanem annak VÁLTOZÁSÁRÓL.

Tehát az árapály nem azért van a Földön mert a Hold (és a Nap) vonzza, hanem mert a közelebbi oldalát jobban vonzza mint a túlsót, tehát a KÜLÖNBSÉGEN alapul.

Egy egyszerű számításból te is felismerheted:

1/1000^2 - 1/1001^2 ~= 2/1000^3

(1000 helyett más nagy számot is írhatsz, a különbséget(1) is változtathatod, a köbös összefüggés megmarad, csak a konstans(2) változik.)

Nem kell hozzá "egyetemi" matek, legfeljebb egy nagyon picike.

Az árapály-hatás két pont között a gravitációs gyorsulás különbsége.

Legyen az egyik pont R, a másik R + dR távolságban a gravitáció forrásától.

A különbség tehát

(1) GM/R^2 - GM/(R + dR)^2.

Az "egyetemi" matek ez esetben a következő közelítés, ami áll ha dR << R (azaz sokkal kisebb, mint R):

1/(R + dR) = (1/R)[1/(1 + dR/R)] ~ (1/R)(1 - dR/R),

továbbá

1 / (R + dR)^2 ~ (1/R)^2(1 - dR/R)^2 ~ (1/R)^2(1 - 2dR/R).

Ezt behelyettesítve az (1) egyenletbe,

GM/R^2 - GM/(R + dR)^2 = (GM/R^2)[1 - (1 - 2dR/R)] = 2GMdR/R^3.

Tehát míg a gravitációs gyorsulás a távolság inverz négyzetével arányos, a gravitációs gyorsulás különbsége a távolság inverz köbével lesz arányos.