Derékszögű háromszög szögeire becslési módszer?
Arra van valami módszer, hogy egy derékszögű háromszög szögeit megbecsüljük szögfüggvények használata nélkül?
Szögfelező tételre gondoltam, N darab iteráció után már kaphatunk egy jó értékét, de bonyolult számolni vele, nincs valami jobb módszer?
válasza:A szögeket normális esetben az asin, acos vagy atan függvények valamelyikével számolnád. Ha nem akarsz iterálni, vedd valamelyik Taylor-sorának első pár elemét, és a legkisebb szögre számold. Pl. ha az asin(x) Taylor-polinomját használod, elég ha pi/4-es szögig (azaz x=gyök(2)/2-ig) pontos, afelett pedig a másik, kisebbik hegyesszögre számold.
Sőt, a Taylor-sorhoz se kell tartanod magad, ha például az asin(x)-re x + 1/6 x^3 + ... helyett x + 1/5 x^3-öt használsz, a 0-tól pi/4-ig tartó szögek szinte teljes tartományát 0.1 fokos pontossággal becsülheted, és még a legvégén, pi/4-nél is csak 0.4 fokot hibázol.
Miért nem akarsz szögfüggvényeket használni? Fejben akarsz számolni? Mert akkor gondolom az én válaszommal se vagy kisegítve...
válasza:"Miért nem akarsz szögfüggvényeket használni? Fejben akarsz számolni? Mert akkor gondolom az én válaszommal se vagy kisegítve..."
Intellektuális kíváncsiság, hogy van-e valami elemi módszer.
A Taylor sor az sajnos nem az amit keresek, az egyszerűen a szögfüggvény közelítése.
Köszi a segítséget.
válasza:Konkrét példa:
Veszek egy egyenlőszárú derékszögű háromszöget.
2-2-2*gyök(2) oldalakkal.
Majd az egyik oldalt megfelezem, így kapok egy 1-2-gyök(5) oldalú háromszöget.
Kérdés, hogy kb hány fokos az így keletkező szög.
Annyi triviálisan látszik, hogy 0 és 45 fok közötti.
Sőt a szögfelelző tételből az is látszik, hogy 22,5 és 45 fok közötti.
De triviálisan nem látszik, hogy ez a szög 40 fok körüli vagy inkább 23 fok körüli érték lesz-e.
Arcus tangens-ből 26,5fok jön ki.
Az érdekel, hogy valahogy viszonylag egyszerűen azt lehet-e mondani, hogy az a szög kb 26 fok.
De én se találtam hozzá használható anyagot.
válasza: válasza:Kérdező, szerintem te nem tudod mit akarsz, és az alapvető fogalmakkal sem vagy tisztában.
"A Taylor sor az sajnos nem az amit keresek, az egyszerűen a szögfüggvény közelítése."
Ez nettó baromság. Inkább a szögfüggvények egy lehetséges definíciója.
Ne keverd már a Taylor-polinomot a Taylor-sorral. Ez két különböző dolog!
"Az érdekel, hogy valahogy viszonylag egyszerűen azt lehet-e mondani, hogy az a szög kb 26 fok."
Igen, ki lehet. Az első válaszoló leírta hogyan lehet becsülni Taylor-polinommal. De ezek szerint nem jött át a lényeg.
a keresett szög: fi=x+x^3/6 közelítően.
behelyettesítés:
fi=1/gyök(5)+(1/6)*1/(gyök(5^3))
numerikus érték:
fi=0.462 rad. Amit ha átváltasz fokba, azaz szorzod 57,3-mal:
fi=26,48°.
A pontos érték: fi=arcsin(1/gyök(5))=26,565°.
A közelítés tehát mindössze 0,32%-os hibát jelent.
A másik közelítés, ami szerepel az első válaszban:
fi=x+x^3/5
behelyettesítés:
fi=1/gyök(5)+(1/5)*1/(gyök(5^3))
ebből a numerikus érték: fi=0,4652rad ami fokban 26,648°.
Látszik, hogy a pontos értéket így alúlról és felűlről is tudjuk becsülni, pusztán elemi algebrai műveletek segítségével.
Remélem, most már átjött a lényeg. Másfajta becslési módszer nem létezik.
Azt még érdemes megfontolni, hogy ez a becslés miért működik ilyen jól. Persze ehhez kell érteni azt is, hogy a Taylor-polinomok mikor adnak mpontos értéket, hogy adnak becslést.
válasza:Egyébként a szögfelezős iterációs elképzelésedhez: Létezik ez, úgynevezik hogy intervallum felezési eljárás. Nemlineáris algebrai egyenletek numerikus módszereinek az egyik legprimitívebb eszköze ez.
Magadtól is beláthatod, ha rekurzívan, mindig felezed a szöget, egyre pontosabb értékhez jutsz.
De a technika ezen már túlhaladt, számos más, jobban konvergáló algoritmus van.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!