Melyik a 45-nek az a legkisebb többszöröse ami csak 0 és 8 számjegyekből áll?

Tegyük fel, hogy 45-öt egy páros számmal szorozzuk meg. Egy ilyen páros szám felírható (2*n) alakban, ahol n természetes szám. Ekkor:

45 * (2*n) = 90 * n = 10 * (9*n)

A 10-es szorzó miatt ugye egy ilyen szám mindenképpen nullára végződik.

Tegyük fel, hogy páratlan számmal szorozzuk meg. Egy ilyen páratlan szám ugye felírható (2*n+1) alakban, ahol n természetes szám. Ekkor

45 * (2*n+1) = 90 * n + 45 = 10 * 9 * n + 10 * 4 + 5 = 10 * (9*n + 4) + 5

Az összeg első tagja ugye 10-el osztható, tehát nullára végződik. A második tag meg fixen öt. Tehát ha 45-öt páratlan számmal szorzod meg, akkor 5-re fog végződni.

Nekünk csak az első eset jó, tehát tudjuk, hogy 45-öt mindenképpen egy páros számmal kell megszorozni. Ekkor természetesen az eredmény is páros lesz. Ergo:

45 * (2*n) = 2*m

(ahol n és m természetes számok)

90 * n = 2*m

Oké, tehát innen az a kérdés – ami ekvivalens az eredeti kérdéssel –, hogy mennyi 90-nek az a legkisebb többszöröse, amelyik csak 8-at és 0-t tartalmaz.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Nézzük tovább. Ugye 90 osztható 10-el, tehát az eredmény is osztható 10-el, azaz felírható 10*k alakban. Ekkor:

90*n = 10*k

(ahol n és k természetes számok)

Ebből:

9n = k

k számjegyei – mivel 10-el osztottunk – megegyezik 90 többszörösének számjegyeivel, leszámítva az utolsó nullát.

Tehát a kérdést visszavezettük arra, hogy 9-nek melyik a legkisebb többszöröse, amely csak 8-at és 0-t tartalmaz.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Nézzük hány 8-as van egy ilyen számban. Ugye tudjuk, hogy 9-el akkor osztható egy szám, ha a számjegyeinek összege osztható 9-el…

Nos, innen próbáld magad megoldani. Ha nem megy, akkor írd meg hol akadtál el.