Hogyan oldjam meg ezt a logaritmikus egyenletet?

Oké. Van a hatványozás művelete. a^b = c. A műveletben a és b ismert, ebből kapjuk meg a c-t. Ennek a műveletnek két inverz művelete van. Ha b és c ismert, akkor a-t gyökvonással kapjuk meg. Ha a és c ismert, akkor b-t kapjuk meg, méghozzá a logaritmus segítségével.

Ergo itt a log(a,c) fogja b-t visszaadni. Magyarul a log(a,c) azt a számot adja meg, amilyen hatványra kell a-t emelni ahhoz, hogy c-t kapjuk.

Innen viszont van egy magától értődő egyenlőség:

a^(log(a,c)) = c

Hiszen az a^b=c műveletből indul az egész, és b-t pont a log(a,c)-vel lehet kiszámolni, így az a^b-be behelyettesítve b helyére log(a,c)-t az egyenlet ugyanaz marad.

~ ~ ~ ~ ~

Jelen esetben is ez történik. log(2,x) azt a számot adja meg, amire emelve 2-t, pont x-et kapunk. Tehát a 2^(log(2,x)) pontosan x-et fogja adni. És itt most x lehet bármilyen kifejezés.

Az eredeti egyenleted így néz ki:

p = q

Ha p és q egyenlő, akkor 2^p és 2^q is egyenlő lesz:

2^p = 2^q

A bal oldalból tehát ez lesz:

2^( log(2,2x) )

Ami pont 2x-et fogja kiadni a fent taglalt c = a^(log(a,c)) egyenlőség miatt.

A jobb oldal ez lesz:

2^(1-log(2,5))

Itt nem lehet közvetlenül használni az előző azonosságot, hiszen alapvetően egy különbségről van szó, még akkor is, ha a különbség műveletének egyik tagja történetesen egy logaritmus.