Hogyan kell x et rajzolni a négyzetbe úgy, hogy nem emelem fel a tollat?

Ilyenre gondolsz?

[link]

Nézzük mi történik egy csúcsnál. Ha a ceruza egy vonalon bejön a csúcsba, akkor valahol ki is fog menni. Ha egy csúcsban páratlan számú vonal találkozik, akkor az csak két esetben lehetséges. Az egyik, hogy a ceruza onnan indult, így nincs bejövő vonal. A másik, hogy a ceruzát ott emelték fel, így nincs kimenő vonal. Ha egy csúcsban páratlan számú vonal találkozik, az vagy kezdőpont, vagy végpont.

Ha viszont egy csúcsban páros vonal fut össze, akkor minden kimenő vonalra jut egy bemenő, minden bemenő vonalra jut egy kimenő. Ez két esetben lehetséges. Akkor, ha az a csúcs nem kezdőpont, így minden bejövő vonalhoz tartozik egy kimenő. Vagy akkor, ha az a csúcs egyben a kezdő és a végpont is. Ekkor is minden bejövő vonalhoz tartozik egy kimenő vonal – ezek átmenő vonalak –, a kezdő és a végső vonal meg együtt alkot egy párt.

Ha egy ilyen un. gráfnak csak olyan csúcsai vannak, amikben páros számú vonal fut össze, akkor az megrajzolható bárhonnan kezdve. (Persze menet közben el lehet rontani, de van helyes útvonal.)

A gráf egyébiránt legalább annyi vonallal rajzolható meg, ahány olyan csúcspárja van, amiben páratlan számú vonal fut össze. Mivel a fenti ábrában a négyzet csúcsaiban 3 vonal fut össze, és ebből 4 darab (két pár) van, ezért a megrajzolásához minimálisan 2 vonal szükséges.

Ha a fenti ábrának lenne teteje – [link] –, akkor megrajzolható lenne, mert akkor a felső két csúcsban már 4-4 vonal futna össze. Az alsó két csúcsban 3-3, ergo az egyik lesz a kiindulópont, a másik a végpont. (Nota bene pont a tető az, ami a tető nélküli alakzathoz képest átvezet az egyik felső csúcsból a másikba. Ha nincs tető, akkor ehhez fel kell emelni a ceruzát.)

(Persze vannak trükkök. Pl. oda lehet menet közben tolni egy másik papírt, vagy felhajtani a papír szélét, amit később lehajtasz. Úgy meg lehet rajzolni úgy, hogy tulajdonképpen nem emeled fel a ceruzát. Csak éppen lesz egy olyan vonaldarab, amit később elveszel az ábrából.)