Öt különböző szám összege 13. Menyi az öt szám szorzata?

Értelemszerűen ennek a feladatnak végtelen sok megoldása van, mivel végtelen sok módon felírható a 5 szám úgy, hogy az összegük 13 legyen. Kérdés, hogy a felsorolt számokat meg tudjuk-e kapni szorzatként;

--A 0-t meg tudjuk kapni, például: 0, 1, 2, 3, 7, ezek összege 13, szorzatuk 0.

--A 10 felírható prímszámok szorzataként: 10 = 2*5, ezek mellé még két számot tudunk mondani, ami a 10-et nem változtatja meg, az az 1 és a (-1), illetve ha a (-1) is ott van, akkor már (-10)-ünk van, tehát ezzel együtt kellene még egy negatív szám. Viszont akárhogyan választunk egész számot, sosem lesz 10 a szorzat, tehát ez nem lehetséges, HA csak egész számok megengedettek. Ha nem egész (valós) számok is lehetnek, akkor egyszerű a dolgunk; először válasszunk 3 számot, például (-1), 1, 2, a másik két szám legyen x és y, ekkor egy kétismeretlenes egyenletrendszert tudunk felírni;

-1 + 1 + 2 + x + y = 13

(-1) * 1 * 2 * x * y = 10

Ennek az egyenletrendszernek van valós megoldása, tehát a valós számok halmazán a 10-es szorzatot is meg tudjuk oldani.

--Megint maradjunk csak az egész számok halmazán; 24 pozitív osztói: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12 24, ezeken kívül még ezek ellentettjei is szóba kerülhetnek. Menjünk egyesével végig az osztókon: ha a legnagyobb szám a

-24, akkor a többi szám szorzata 1 kell, hogy legyen, látható, hogy ez nem lesz jó.

-12, ekkor a többi szám szorzata 2 kell, hogy legyen, ez is ránézésre megmondható, hogy nem jó.

-8, ekkor a többi szám szorzata 3 kell, hogy legyen, szintén problémás.

-6, ekkor a többi szám szorzata 4 kell, hogy legyen, ami egyféleképpen oldható meg: (-1)*1*(-2)*2, így viszont a számok összege 6, ami kevés.

-4, ekkor a többi szám szorzata 6 kell, hogy legyen. Ez megoldható például úgy, hogy (-1)*1*(-2)*3, ekkor a számok összege: 4+(-1)+1+(-2)+3 = 5, ami nem 10. Látható, hogy ha a szorzatban máshova tesszük a negatív előjelet, akkor ez az összeg csak csökkenni fog.

-2, ekkor a többi szám szorzata 12 kell, hogy legyen. Viszont ebben az esetben a legjobb esetben is csak két pozitív szám lehet a szorzatban, ezek összege 3, a többi szám viszont negatív lesz, amik csökkentik az összeget.

Ezek után a többi esetet már nem is érdemes vizsgálni.

Ha a valós számok halmazán keressük a megoldást, akkor például így tudunk gondolkodni; megint válasszunk 3 megfelelő számot, a másik kettő legyen x és y, ekkor például:

1 * 2 * 3 * x * y = 24

1 + 2 + 3 + x + y = 13, ennek az egyenletrendszernek is van valós megoldása.

--A D és az E válaszok könnyedén kizárhatóak, hogyha ismerjük a számtani és a mértani közép közötti összefüggéseket; 5 pozitív szám szorzata akkor tud a legnagyobb lenni, hogyha az 5 szám megegyezik. Az 5 szám összege 13 kell, hogy legyen, emiatt az 5 azonos számnak 13/5 = 2,6-nek kell lennie. Ezen számok szorzata: 2,6 * 2,6 * 2,6 *2,6 * 2,6 = 118,81376. A fentiek értelmében, akárhogyan választjuk meg jól a valós számainkat, azok szorzata maximum csak ennyi lehet, tehát a 120 és a 2011 biztosan nem lehet valós számok szorzata úgy, hogy összegük 13 és mind különböző.

Tehát ha csak az egész számok halmazán mozgunk, akkor a felsoroltak közül csak az A lehet megoldás, ha pedig a valós számok halmazán, akkor az A, B, C megoldható.