Törtes egyenlőtlenség? (analízis I)

Nem igazán értem, hogy mi a problémád...

Először a nevezővel kell szorozni, de meg kell nézni, hogy az hol negatív, hol pozitív, hol 0, mert attól függően fordul a reláció. A kifejezést érdemes átalakítani teljes négyzetté: x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4, ez azt jelenti, hogy a nevező minden esetben pozitív lesz (legalább 3/4), ezért nyugodt szívvel lehet sorozni:

x^2-x+1>=(x^2+x+1)/3

Hogy az együttható egészek legyenek, szorozzunk 3-mal:

3x^2-3x+3>=x^2+x+1, majd redukálunk:

2x^2-4x+2>=0, osszunk 2-vel, csak az egyszerűség kedvéért:

x^2-2x+1>=0, rutinos szem láthatja, hogy a bal oldal egy teljes négyzet:

(x-1)^2>=0

Mivel ennek minden x megoldása lesz, ezért az eredetinek is. Ebből következik, hogy a függvény minimuma 1/3, amit x=1 esetén vesz fel.