Írja fel az origon átmenő sík egyenletét amely párhuzamos az a és b vektorral?

Bocsi, azt hittem ehhez már tanultátok a keresztszorzatot. Viszont azt elég nehéz lenne elmagyarázni, úgyhogy megpróbálom másképpen.

Az a vektor párhuzamos a síkkal. Induljon az a vektor az origóból, ekkor a végpontja a (2,2,1) pont. Ekkor az a vektor rajta fekszik a síkon (különben nem lennének párhuzamosak). Tehát a (2,2,1) pont is rajta van a síkon. Ugyanígy, induljon a b vektor is az origóból és így a (3,0,4) pont is rajta van a síkon.

A sík általános egyenlete: Ax+By+Cz=D. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet mindig teljesül, ha bármely síkon fekvő pont koordinátáit beírod az x,y,z helyére. Az origó nyilván rajta fekszik a síkon, ha azt behelyettesíted, kijön hogy D=0.

A maradék 2 pontra meg felírunk 2 egyenletet.

2A+2B+C=0

3A+0B+4C=0

Most van két egyenletünk 3 ismeretlenre. Ugye az A,B,C a sík normálvektorának koordinátái. Normálvektorból (azaz a síkra merőleges vektorból) pedig végtelen van, úgy tudsz egyet találni, ha rögzíted az egyik koordinátáját. Itt legyen pl. C=-6. (itt tényleg bármilyen C jó, azt az egyenletet alakítgasd utána és ez fog kijönni mint a legjobb választás)

2A+2B-6=0

3A-24=0 -> innen A=8 és B=-5

Tehát a megoldás: 8x-5y-6z=0.