Letudná valaki vezetni a megoldást? Írjuk fel a P (6;3) ponton átmenő olyan e egyenes egyenletét amely az (x+2) ^2+ (y-1) ^2=4 egyenletű körtől 2 egység távolságra van.

[link]

A kör:

(x+2)^2+(y-1)^2=4

(x+2)^2+(y-1)^2=2^2

A körtől 2-vel nagyobb sugarú koncentrikus k kör:

(x+2)^2+(y-1)^2=(2+2)^2

(x+2)^2+(y-1)^2=4^2

A k kör sugara:

rk = 4

A k kör S középpontja:

S(-2;1)

P pont:

P(6;3)

A k körnek keressük azt az e érintőjét, amely áthalad a P ponton.

Két ilyen érintő létezik.

------ ------ ------

Az S pontot és a P pontot összekötő egyenes irányvektora:

v = P - S = (Px-Sx;Py-Sy) = (6-(-2);3-1) = (8;2)

Az S pontot és a P pontot összekötő egyenes:

vy*x – vx*y = vy*Px – vx*Py

2*x – 8*y = 2*6 – 8*3

y = x/4 + 3/2

Az SP szakasz felénél levő C pont:

e = v*(1/2) = (vx*(1/2);vy*(1/2)) = (8*(1/2);2*(1/2)) = (4;1)

C(Cx;Cy) = S + e = (Sx+ex;Sy+ey) = (-2+4;1+1) = (2;2)

Az az m kör, amelynek a középpontja C, és érinti az S és a P pontokat.

(x - Cx)^2 + (y - Cy)^2 = rm^2

CS = S - C = (-2-2;1-2) = (-4;1)

rm^2 = CSx^2 + CSy^2 = (-4)^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17

(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 17

A k kör és az m kör két pontban metszi egymást. Ezen a két ponton halad át az a két e érintő amelyeket keressük.

Ha a két érintőpontot összekötjük egymással és az S és a P pontokkal, akkor négy derékszögű háromszöget kapunk.

A két kör középpotja közti távolság:

d = gyök((Cx - Sx)^2 + (Cy - Sy)^2) = gyök((2 - (-2))^2 + (2 - 1)^2) = gyök(17)

Az érintőpontok távolsága az S és P pontokon áthaladó egyenestől:

a = (rk^2 - rm^2 + d^2)/(2*d) = (4^2 - 17 + gyök(17)^2)/(2*gyök(17)) = 1,940285

h = gyök(rk^2 - a^2) = gyök(4^2 - 1,940285^2) = 3,4978985

Az S és P pontokon áthaladó egyenes és az érintőpontokon áthaladó egyenes metszéspontja:

H(Hx;Hy) = H(Sx + a*(Cx - Sx)/d; Sy + a*(Cy - Sy)/d) = H(-2 + 1,940285*(2 - (-2))/gyök(17); 1 + 1,940285*(2 - 1)/gyök(17)) = H(-0,117647; 1,4705882)

A két érintőpont:

F(Fx;Fy) = F(Hx + h*(Cy - Sy)/d; Hy - h*(Cx - Sx)/d) = F(-0,117647 + 3,4978985*(2 - 1)/gyök(17); 1,4705882 - 3,4978985*(2 - (-2))/gyök(17)) = F( 0,730718; -1,92287)

G(Gx;Gy) = G(Hx - h*(Cy - Sy)/d; Hy + h*(Cx - Sx)/d) = G(-0,117647 - 3,4978985*(2 - 1)/gyök(17); 1,4705882 + 3,4978985*(2 - (-2))/gyök(17)) = G(-0,966012; 4,864048)

Az F pontot és a P pontot összekötő egyenes irányvektora:

PF = P - F = (Px-Fx;Py-Fy) = (6-0,730718;3-(-1,92287)) = (5,269282;4,92287)

Az G pontot és a P pontot összekötő egyenes irányvektora:

PG = P - G = (Px-Gx;Py-Gy) = (6-(-0,966012);3-4,864048) = (6,966012;-1,864048)

Az egyik érintő, e1 egyenes:

PFy*x – PFx*y = PFy*Px – PFx*Py

4,92287*x – 5,269282*y = 4,92287*6 – 5,269282*3

y = 0,934258*x - 2,605549

A másik érintő, e2 egyenes:

PGy*x – PGx*y = PGy*Px – PGx*Py

-1,864048*x – 6,966012*y = -1,864048*6 – 6,966012*3

y = -0,26759*x + 4,605551