Hogy kell kiszámolni, hogy a 4,84 mely pozitív számnak a négyzete?

Először is nézzük meg, hogy a szám 100-szorosának mi a gyöke. Egyrészt azért a 100-szorosa kell, hogy egész számot kapjunk, másrészt azért, mert ha az 1000-szeresét vennénk, akkor 1 darab 0-ra végződne a szám, így az biztosan nem lehetne négyzetszám.

Nézzük meg a 484 gyöktényezős alakját:

484|2

242|2

121|11

11|11

1

Tehát 484=2*2*11*11. Ha ügyesen szorozzuk össze a számokat, akkor 22*22-t kapjuk, tehát a 484 a 22-nek a négyzete.

Ebből már nem nehéz kisakkozni, hogy a 4,84 a 2,2-nek a négyzete.

Ennél a példánál szerencsénk volt, mivel a keresett szám véges tizedestört volt. Ha nem így lett volna, csak közelítő eljárással lehetett volna megadni a keresett szám tizedestört alakját.

Iterációval. Először is tudjuk, hogy egynél nagyobb és 4,84-nél kisebb. Megbecsülöd, és a következő algoritmust alkalmazod:

Veszed a becslés négyzetét (szorzás), ha az nagyobb, mint a mi számunk, akkor a keresett gyök 1 és közötte lesz, ha kisebb, akkor a becslés és a mi számunk között lesz. A két határszám átlaga lesz az új becslés.

Becslésnek legyen mondjuk a fele: 2,42,

vegyük ennek a négyzetét: 2,42 * 2,42 = 5,8564,

mivel ez nagyobb mint a mi számunk, ezért a mi számunk gyöke 2,42-nél kisebb kell, hogy legyen.

Legyen a következő becslés 1 és 2,42 átlaga: 1,71,

újra a lépések:

1,71 * 1,71 = 2,9241,

2,9241 < 4,84,

új becslés: avg(1,71;2,42) = 2,065.

2,065 * 2,065 = 4,264225,

4,264225 < 4,84,

új becslés: avg(2,065;2,42) = 2,2425.

2,2425 * 2,2425 = 5,02880625

5,02880625 > 4,84,

új becslés: avg(2,065;2,2425) = 2,15375.

2,15375 * 2,15375 = 4,638639063

És így tovább.

A következő becslés 2,198125. Ez már csak 0,085 %-kal tér el az igazi gyöktől!!!!

Ezt persze le kell programozni, nem embernek való.

Így bármilyen szám gyöke meghatározható tetszőleges (véges) pontossággal, beleértve sqrt(2)-t is, ami irracionális, de elég jól tudjuk közelíteni.

Itt egy C kód is rá 0.000001 pontossággal:

#include <stdio.h>

double avg2 (double a, double b)

{

return (a + b) / 2;

}

double absz (double a)

{

if (a < 0)

return -1 * a;

else

return a;

}

double gyok (double x)

{

double becsles = x / 2;

double also = 0, felso = x;

while (absz (becsles * becsles - x) > 0.000001)

{

if (becsles * becsles > x)

{

felso = becsles;

becsles = avg2 (becsles, also);

}

else if (becsles * becsles < x)

{

also = becsles;

becsles = avg2 (becsles, felso);

}

else

return becsles;

}

return becsles;

}

int

main ()

{

printf ("gyok: %f \n", gyok (4.84));

return 0;

}

Itt egy online C compiler, ide bedobhatod, ha akarod:

[link]

1.) Számológéppel:

- ha van gyökjelű billentyű, akkor azt kell használni,

- ha nincs gyökjel, de van hatványozási lehetőség (többnyire ^ jel szokott lenni), akkor az 1/2-ikre kell emelni (vagy 0,5-ikre).

2.) Excelt használva, vagy ha nincs, akkor az ingyenes Google Táblázatok-on belül a Táblázatok szolgáltatást használva:

- bármelyik mezőbe beírni, hogy =4,84^(1/2) és Enter.

Lehet rugalmasabban is, pl. A1 mezőbe írni számokat, B1-be pedig azt, hogy =A1^(1/2), így írogathatók számok az A1 mezőbe, és B1-ben azonnal megjelenik a négyzetgyöke.

3.) Bármiféle számolóeszköz nélkül, egy papír és íróeszköz segítségével: [link]

Ezt alkalmazva:

• a tizedesvesszőtől balra csak egy számjegy van, annak négyzetgyöke 2, leírom az egyenlőségjel után.

• 2 négyzetét (4) a 4-es alá írom.

• kivonom, 4-4=0.

• a különbség (0) után írom a következő két számjegyet: 048 lesz.

• az egyenlőségjel utáni 2-es után kiteszem a tizedesvesszőt, hiszen a 84 a tizedesvessző után van.

• a 084-tól kissé jobbra leírom: 4 (ez az egyenlőségjel utáni szám, a 2, kétszerese, majd a ̲ ̲ ̲ * ̲ ̲ ̲ -t.

• a 4-es után milyen második számjegy kell az aláhúzás jelre, hogy ugyanazzal a számjeggyel szorozva (az a másik aláhúzásjelre kerül), a szorzat 84, vagy attól éppen kisebb legyen?

Ez a 2, mert az 1 kevés: 41 * 1 = 41, kevés; még kitelik a 2 is, hiszen 42*2 éppen 84.

Így 4 ̲2̲ ̲* ̲2̲ ̲ lesz, ami 84.

• A 2-est leírom az egyenlőségjel utáni 2, után, így 2,2 lesz.

•Jobbra igazítva (helyiérték helyesen) leírom a szorzatot (84) a 084 alá, a kivonás eredménye 0, végeztünk.

Az egyenlőségjel után ott van a 2,2 ami a 4,84 négyzetgyöke.

Hát megszorzod önmagával; felírod, mintha egy törtrész nélküli írásbeli szorzás lenne

És akkor a végén asszem annyi szám lesz a tizedesvessző mögött, amennyi volt összesen a szorzásban.

Asszem. De ilyen becslést egyébként tudsz csinálni, hogy pl 5*5=25 , és akkor nagyjából valami akörüli érték lesz.